Espace préhilbertien complexe/Produit scalaire
Définitions
[modifier | modifier le wikicode]Positivité
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Dans l'espace vectoriel , on pose l'application
ψ est une application à symétrie hermitienne définie positive.
En effet,
Produit scalaire
[modifier | modifier le wikicode]Soit
ƒ est un produit scalaire complexe sur E ssi ƒ est une application sesquilinéaire à symétrie hermitienne définie positive sur E.
On notera que, en se restreignant à , la définition du produit scalaire devient : forme bilinéaire symétrique définie positive.
Espaces préhilbertiens complexes
[modifier | modifier le wikicode]Définition
[modifier | modifier le wikicode]On appelle espace préhilbertien complexe tout -espace vectoriel muni d'un produit scalaire.
Si de plus, E est de dimension finie, on parle d'espace hermitien.
On suppose désormais que E est un espace préhilbertien complexe, c'est-à-dire on suppose avoir muni E d'un produit scalaire.
Norme, distance
[modifier | modifier le wikicode]On définit sur E la norme préhilbertienne complexe ||.||, c'est-à-dire associée au produit scalaire , par .
Propriétés
[modifier | modifier le wikicode]Soient . Lorsque , l'énoncé est clairement vrai. Par conséquent, on supposera .
- Inégalité
Posons, pour tout nombre complexe ,
- .
- .
On a supposé que le produit scalaire hermitien est linéaire à droite et semi-linéaire à gauche, donc et , d'où :
- .
Si l'on pose
- ,
on trouve
d'où, en utilisant que :
- ,
dont on déduit l'inégalité annoncée.
Un calcul montre que , donc n'est autre que la valeur en laquelle l'application atteint son minimum sur .
(Si le produit scalaire hermitien était semi-linéaire à droite et linéaire à gauche, le minimum serait atteint pour .)
- Cas d'égalité
Si alors, pour comme ci-dessus, donc , si bien que est liée. La réciproque est évidente.
L'identité du parallélogramme et la première des deux formules de polarisation se démontrent sans difficulté en développant et regroupant les termes.
Seule la dernière nécessite de s'y prendre intelligemment pour ne pas s'embourber : il faut faire les bonnes combinaisons.
Soit
- D'après la première formule de polarisation :
- De même :
- On obtient alors facilement le résultat.
Exemples fondamentaux
[modifier | modifier le wikicode]muni du produit scalaire usuel
- La norme associée est la norme préhilbertienne complexe :
- L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :
muni du produit scalaire
- La norme associée est
- L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :
muni du produit scalaire
- La norme associée est
- L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :