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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Espace préhilbertien complexe : Formes hermitiennes Espace préhilbertien complexe/Formes hermitiennes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans tout ce cours, E est un
C
{\displaystyle \scriptstyle {\mathbb {C} }}
Sesquilinéarité
Soit
f
:
E
2
→
C
{\displaystyle f:E^{2}\to \mathbb {C} }
ƒ est linéaire à droite ssi
∀
λ
∈
C
,
∀
(
x
,
y
,
z
)
∈
E
3
,
f
(
x
,
λ
y
+
z
)
=
λ
f
(
x
,
y
)
+
f
(
x
,
z
)
{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,~\forall (x,y,z)\in E^{3},~f(x,\lambda y+z)=\lambda f(x,y)+f(x,z)}
ƒ est semi-linéaire à gauche ssi
∀
λ
∈
C
,
∀
(
x
,
y
,
z
)
∈
E
3
,
f
(
λ
x
+
y
,
z
)
=
λ
¯
f
(
x
,
z
)
+
f
(
y
,
z
)
{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,~\forall (x,y,z)\in E^{3},~f(\lambda x+y,z)={\bar {\lambda }}f(x,z)+f(y,z)}
sesquilinéaire .
Symétrie hermitienne
Soit
f
:
E
2
→
C
{\displaystyle f:E^{2}\to \mathbb {C} }
On dit que ƒ est à symétrie hermitienne ssi
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
,
f
(
y
,
x
)
=
f
(
x
,
y
)
¯
{\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},~f(y,x)={\overline {f(x,y)}}}
Forme hermitienne
Soit ƒ une forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne définie sur E .
On définit l’application
ϕ
{\displaystyle \scriptstyle {\phi }}
ϕ
:
E
→
R
x
↦
f
(
x
,
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}\phi &:&E&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &f(x,x)\end{array}}}
ϕ
{\displaystyle \scriptstyle {\phi }}
forme (quadratique) hermitienne associée à ƒ .
ƒ est appelée forme polaire associée à la forme hermitienne
ϕ
{\displaystyle \scriptstyle {\phi }}
Début de l'exemple
Exemple
f
:
C
[
X
]
2
→
C
(
P
,
Q
)
↦
P
(
0
)
¯
Q
(
1
)
+
P
(
1
)
¯
Q
(
0
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}f&:&\mathbb {C} [X]^{2}&\rightarrow &\mathbb {C} \\~&~&(P,Q)&\mapsto &{\overline {P(0)}}Q(1)+{\overline {P(1)}}Q(0)\end{array}}}
ƒ est une application sesquilinéaire à symétrie hermitienne.
Sa forme hermitienne associée est :
ϕ
:
C
[
X
]
→
C
P
↦
2
ℜ
(
P
(
0
)
¯
P
(
1
)
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\phi &:&\mathbb {C} [X]&\rightarrow &\mathbb {C} \\~&~&P&\mapsto &2\Re ({\overline {P(0)}}P(1))\end{array}}}
Fin de l'exemple
Début d’un théorème
Formules de polarisation
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
,
{\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},~}
ϕ
(
x
+
y
)
=
ϕ
(
x
)
+
ϕ
(
y
)
+
2
ℜ
(
f
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle \phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y)+2\Re (f(x,y))}
ϕ
(
x
−
y
)
=
ϕ
(
x
)
+
ϕ
(
y
)
−
2
ℜ
(
f
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle \phi (x-y)=\phi (x)+\phi (y)-2\Re (f(x,y))}
ϕ
(
x
+
i
y
)
=
ϕ
(
x
)
+
ϕ
(
y
)
−
2
ℑ
(
f
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle \phi (x+iy)=\phi (x)+\phi (y)-2\Im (f(x,y))}
ϕ
(
x
−
i
y
)
=
ϕ
(
x
)
+
ϕ
(
y
)
+
2
ℑ
(
f
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle \phi (x-iy)=\phi (x)+\phi (y)+2\Im (f(x,y))}
Fin du théorème
Début d’un théorème
Identités du parallélogramme
Fin du théorème
On notera dans la suite :
S
H
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {SH}}(E)}
E
H
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}(E)}
E
S
H
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {SH}}(E)}
est pas un espace vectoriel sur
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
En effet, soit
f
∈
S
H
(
E
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {SH}}(E)}
g
=
i
f
{\displaystyle g=if}
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
,
g
(
y
,
x
)
=
i
f
(
y
,
x
)
=
i
f
(
x
,
y
)
¯
=
−
(
i
f
(
x
,
y
)
¯
)
=
−
g
(
x
,
y
)
¯
{\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},~g(y,x)=i\,f(y,x)=i\,{\overline {f(x,y)}}=-\left({\overline {i\,f(x,y)}}\right)=-{\overline {g(x,y)}}}
Donc g n’est pas à symétrie hermitienne.
Début d’un théorème
Théorème
S
H
(
E
)
→
H
(
E
)
f
↦
ϕ
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\mathcal {SH}}(E)&\rightarrow &{\mathcal {H}}(E)\\f&\mapsto &\phi \end{array}}}
est une application
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Fin du théorème
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}f&:&\mathbb {C} [X]^{2}&\rightarrow &\mathbb {C} \\~&~&(P,Q)&\mapsto &{\overline {P(0)}}Q(1)+{\overline {P(1)}}Q(0)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7dc85bf07932e344e558b256aaa4ace213ad8e)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\phi &:&\mathbb {C} [X]&\rightarrow &\mathbb {C} \\~&~&P&\mapsto &2\Re ({\overline {P(0)}}P(1))\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89457b6c90ef529b64234b6fad31d3794e992d68)
![{\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2}}\left[\phi (x+y)-\phi (x)-\phi (y)\right]+{\frac {i}{2}}\left[\phi (x)+\phi (y)-\phi (x+y)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b17a4a10da9580f28377af6d5613a5277a9e5cd)
![{\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{4}}\left[\phi (x+y)-\phi (x-y)\right]+{\frac {i}{4}}\left[\phi (x-iy)-\phi (x+iy)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30883f6bf095b5014a5943fd88b34cf2c37eb543)
