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Espace préhilbertien complexe : Formes hermitiennes
Espace préhilbertien complexe/Formes hermitiennes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans tout ce cours, E est un
-espace vectoriel.
Sesquilinéarité
Soit

.
- ƒ est dite linéaire à droite si

- ƒ est dite semi-linéaire à gauche si

Si ƒ est linéaire à droite et semi-linéaire à gauche, on dit que ƒ est une
forme sesquilinéaire.
Symétrie hermitienne
Soit

On dit que ƒ est
à symétrie hermitienne si

.
Forme hermitienne
Une
forme hermitienne est une forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne.
Soit ƒ une forme hermitienne sur E.
On définit l’application
par
.
q est appelée forme quadratique (hermitienne) associée à ƒ.
ƒ est appelée
forme polaire associée à q.
Début de l'exemple
Exemple
ƒ est une forme hermitienne.
Sa forme quadratique associée est :
.
Fin de l'exemple
Début d’un théorème
Formules de polarisation

:



.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Identités du parallélogramme
Fin du théorème
On notera (ponctuellement) dans cette section :
l’ensemble des formes hermitiennes sur E.
l’ensemble des formes quadratiques associées.
Propriété
*

est un

-espace vectoriel.
est donc un
-espace vectoriel.
|
n'est pas un espace vectoriel sur (sauf bien sûr si E est l'espace nul).
|
En effet, soient
une forme hermitienne non nulle sur E et
tel que
. On pose
.
Alors,
,
tandis que
.
Donc g n’est pas à symétrie hermitienne.
Début d’un théorème
Théorème
La surjection

-linéaire

est injective (donc bijective).
Fin du théorème
Cette injectivité justifie l'appellation de forme polaire associée à une forme quadratique hermitienne.