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Espace préhilbertien complexe : Espaces hermitiens
Espace préhilbertien complexe/Espaces hermitiens », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On suppose dans ce chapitre que E un espace hermitien de dimension n, non réduit à {0}.
Début d’un théorème
Théorème
Il existe une base orthonormée de E.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème de la base orthonormée incomplète
Soit une famille orthonormale de vecteurs de E ()
Alors cette famille peut être complétée en une base orthonormée de E
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème
Soit F un sous-espace vectoriel de E.
Alors :
Fin du théorème
On munit E d'une base orthonormée
Soit .
Il existe des coordonnées pour x et y dans la base :
- et
On pose les vecteurs et
Écriture vectorielle du produit scalaire et de la norme
Soient :
- la forme hermitienne associée à ƒ
- et deux vecteurs de E
On a :
Remarque
Donc
On pose et
Écriture matricielle
Début d’un théorème
Isomorphisme canonique avec le dual
On pose l'application
est un isomophisme sesquilinéaire entre E et son dual.
Fin du théorème
- → Nous verrons en annexe l’intérêt de cet isomorphisme pour l’application à la mécanique quantique, à travers de la notation bra-ket.