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Espace préhilbertien complexe/Espaces hermitiens

Leçons de niveau 15
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Espaces hermitiens
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Chapitre no 4
Leçon : Espace préhilbertien complexe
Chap. préc. :Orthogonalité
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Espace préhilbertien complexe/Espaces hermitiens
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On suppose dans ce chapitre que E un espace hermitien de dimension n, non réduit à {0}.

Existence de bases

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Écriture matricielle

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On munit E d'une base orthonormée

Écriture vectorielle du produit scalaire

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Soit .

Il existe des coordonnées pour x et y dans la base  :

et

On pose les vecteurs et

Matrice d'une forme hermitienne

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Soient :

  • la forme hermitienne associée à ƒ
  • et deux vecteurs de E

On a :




On pose et

Isomorphisme canonique avec le dual

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Nous verrons en annexe l’intérêt de cet isomorphisme pour l’application à la mécanique quantique, à travers de la notation bra-ket.