Espace préhilbertien complexe/Espaces hermitiens

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On suppose dans ce chapitre que E un espace hermitien de dimension n, non réduit à {0}.

Existence de bases

Début d’un théorème

Théorème

Il existe une base orthonormée de E.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème de la base orthonormée incomplète

Soit $(c_{1},\cdots ,c_{p})$ une famille orthonormale de vecteurs de E ($p<n$) Alors cette famille peut être complétée en une base orthonormée de E $(c_{1},\cdots ,c_{n})$

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème

Soit F un sous-espace vectoriel de E.

Alors :

• $E=F\oplus F^{\perp }$
• $(F^{\perp })^{\perp }=F$

Fin du théorème

Écriture matricielle

On munit E d'une base orthonormée ${\mathcal {B}}=(e_{1},\cdots ,e_{n})$

Écriture vectorielle du produit scalaire

Soit $(x,y)\in E^{2}$.

Il existe des coordonnées pour x et y dans la base ${\mathcal {B}}$ :

$x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$ et $y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}$

On pose les vecteurs $X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ et $Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}$

Écriture vectorielle du produit scalaire et de la norme

* $\langle x|y\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}=^{t}\!\!{\bar {X}}Y$

• $||x||^{2}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}=^{t}\!\!{\bar {X}}X$

Matrice d'une forme hermitienne

Soient :

• $f\in {\mathcal {SH}}(E)$
• $\scriptstyle {\phi }$ la forme hermitienne associée à ƒ
• $x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$ et $y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}$ deux vecteurs de E

On a :

$f(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{j}f(e_{i},e_{j})$

Définition

On pose $A=(f(e_{i},e_{j}))_{1\leq i\leq n~,~1\leq j\leq n}$ la matrice de la forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne ƒ dans la base ${\mathcal {B}}$. On dira par extension que A est aussi la matrice de la forme hermitienne $\scriptstyle {\phi }$ associée à ƒ dans la base ${\mathcal {B}}$

Remarque

$\forall (j,k),~f(e_{j},e_{k})={\overline {f(e_{k},e_{j})}}$ Donc $^{t}\!\!A={\bar {A}}$

Matrice hermitienne

Soit $M\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )$

M est dite hermitienne

ssi $^{t}\!M={\overline {M}}$

ssi $\forall (j,k),~m_{jk}={\overline {m_{kj}}}$

On pose $X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ et $Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}$

Écriture matricielle

* $f(x,y)=^{t}\!\!{\bar {X}}AY$

• $\phi (x)=^{t}\!\!{\bar {X}}AX$

Isomorphisme canonique avec le dual

Début d’un théorème

Isomorphisme canonique avec le dual

On pose l'application

${\begin{array}{ccccc}\psi &:&E&\rightarrow &E^{*}\\~&~&x&\mapsto &\langle x|\bullet \rangle \end{array}}$

$\scriptstyle {\psi }$ est un isomophisme sesquilinéaire entre E et son dual.

Fin du théorème

'Démonstration'

Soit $x\in E$

• Si $\psi (x)=0$

${\begin{aligned}\langle x|\bullet \rangle =0&\Rightarrow \forall y\in E,~\langle x|y\rangle =0\\&\Rightarrow \langle x|x\rangle =0\\&\Rightarrow x=0\end{aligned}}$

Donc $\scriptstyle {\psi }$ est injective.

De plus, $\scriptstyle {\psi }$ est une application sesquilinéaire entre deux espaces de même dimension n, donc $\scriptstyle {\psi }$ injective implique $\scriptstyle {\psi }$ surjective.

Finalement, $\scriptstyle {\psi }$ est un isomorphisme.

 

→ Nous verrons en annexe l’intérêt de cet isomorphisme pour l’application à la mécanique quantique, à travers de la notation bra-ket.