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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Espace préhilbertien complexe : Espaces hermitiens
Espace préhilbertien complexe/Espaces hermitiens », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On suppose dans ce chapitre que E un espace hermitien de dimension n, non réduit à {0}.
Début d’un théorème
Théorème
Il existe une base orthonormée de E.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème de la base orthonormée incomplète
Soit

une famille orthonormale de vecteurs de
E (

)
Alors cette famille peut être complétée en une base orthonormée de
E 
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème
Soit
F un sous-espace vectoriel de
E.
Alors :


Fin du théorème
On munit E d'une base orthonormée
Soit
.
Il existe des coordonnées pour x et y dans la base
:
et 
On pose les vecteurs
et
Écriture vectorielle du produit scalaire et de la norme
*

Soient :

la forme hermitienne associée à ƒ
et
deux vecteurs de E
On a :
Définition
On pose

la
matrice de la forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne ƒ dans la base

.
On dira par extension que
A est aussi la matrice de la forme hermitienne

associée à ƒ dans la base

Remarque

Donc

On pose
et
Écriture matricielle
*

Début d’un théorème
Isomorphisme canonique avec le dual
On pose l'application


est un isomophisme sesquilinéaire entre E et son dual.
Fin du théorème
- →

Nous verrons en annexe l’intérêt de cet isomorphisme pour l’application à la mécanique quantique, à travers de la notation bra-ket.