Espace préhilbertien complexe/Annexe/Application à la mécanique quantique

Le but de cet annexe n’est pas de présenter l'intégralité du formalisme mathématique de la mécanique quantique, mais de faire un début de passerelle entre les notions présentées dans ce cours de mathématiques et leur application en physique.

→ Pour une présentation plus exhaustive et plus adaptée à la physique, se reporter au cours « Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique ».

Rapide introduction

Les espaces préhilbertiens complexes sont également la base mathématique du développement de la physique quantique.

En quelques mots, les particules quantiques sont modélisées par une fonction d'onde $\scriptstyle {\psi }$, qui représente l'état de la particule. En particulier, cette fonction d'onde est reliée à la probabilité dp de présence de la particule dans un volume dV autour de la position $\scriptstyle {\vec {r}}$ par la relation $\scriptstyle {{\rm {d}}p=|\psi ({\vec {r}})|^{2}dV}$.

→ Voir le cours d'introduction à la mécanique quantique pour de plus amples informations sur les interprétations physiques de la fonction d'onde.

Notation Bra-ket

$\scriptstyle {\psi }$ est généralement une fonction complexe. L'ensemble des fonctions d'onde possibles forme un espace vectoriel, qu'on peut munir du produit scalaire complexe (qu'on suppose défini)

$\forall (\phi ,\psi ),~\langle \phi |\psi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\overline {\phi ({\vec {r}})}}\psi ({\vec {r}})~{\rm {d}}\tau$

Paul Dirac, dont la contribution à cette nouvelle physique a été très grande, a introduit une nouvelle notation, dite « bra-ket » pour écrire les équations de la mécanique quantique. En anglais, le terme « bracket » désigne les sortes de parenthèses anguleuses $\langle ~\rangle$ qui jalonnent les cours mettant en jeu des produits scalaires.

Ket

Une fonction d'onde $\scriptstyle {\psi }$ en tant que vecteur de l'espace des fonctions d'onde est notée $|\psi \rangle$.

On appelle cette représentation vecteur-ket, ou plus simplement ket associé à l'état $\scriptstyle {\psi }$.

On peut alors effectuer les mêmes manipulations linéaires que sur un vecteur normal. Par exemple, si $\scriptstyle {\psi }$ et $\scriptstyle {\phi }$ sont deux fonctions d'onde, la superposition $\scriptstyle {\psi }+\lambda \scriptstyle {\phi }$ avec $\scriptstyle {\lambda \in \mathbb {C} }$ a pour ket associé :

$|\psi +\lambda \phi \rangle =|\psi \rangle +\lambda |\phi \rangle$

De plus, à partir d'un vecteur $\scriptstyle {\psi }$, on peut construire un élément de l'espace dual à travers l’application $\psi \mapsto \langle \psi |\bullet \rangle$. Dans le cas des espaces hermitiens, on a même un isomorphisme.

Bra

À partir d'un ket $|\psi \rangle$, on peut définir la forme $\psi \mapsto \langle \psi |\bullet \rangle$, élément du dual de l'espace des fonctions d'onde.

Cette forme est représentée sous la forme d'un bra : $\langle \psi |$

Ainsi, si l’on veut calculer le produit scalaire du vecteur $|\psi \rangle$ et du vecteur $|\phi \rangle$, on peut appliquer le bra $\langle \psi |$ au vecteur $|\phi \rangle$, ce qui se note $\langle \psi |\cdot |\phi \rangle$ ou, plus simplement… $\langle \psi |\phi \rangle$ !

On peut faire également des opérations sur les bras, mais cette fois, de façon semi-linéaire, toujours à cause de la définition du produit scalaire complexe qui est semi-linéaire à gauche : si $\scriptstyle {\psi }$ et $\scriptstyle {\phi }$ sont deux fonctions d'onde, la superposition des bras qui leur sont associés donne :

$\langle \psi +\lambda \phi |=\langle \psi |+{\bar {\lambda }}\langle \phi |$

Décomposition en base orthonormée dans un espace hilbertien

On se place dans un espace hilbertien de dimension n muni d'une base orthonormée $e=(e_{1},\cdots ,e_{n})$.

Soit $|x\rangle$ un vecteur de cet espace.

• La décomposition de x suivant la base e s'écrit $|x\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle x|e_{i}\rangle |e_{i}\rangle$
• Le projecteur orthogonal sur le vecteur de base $e_{i}$ est l’application $|e_{i}\rangle \langle e_{i}|$

En effet, appliquée au ket $|x\rangle$, on obtient $|e_{i}\rangle \langle e_{i}|x\rangle$.

On observe que l'ordre des éléments est important : $|e_{i}\rangle \langle e_{i}|$ est une application $\langle e_{i}|e_{i}\rangle$ est un scalaire

Opérateur hermitique

Conjugué hermitique

Soit A une matrice.

On appelle conjugué hermitique de A et on note $A^{\dagger }$ la matrice $^{t}({\bar {A}})$.

Une matrice hermitienne est alors une matrice égale à son conjugué hermitique : $A=A^{\dagger }$

En physique quantique, ces matrices hermitiennes sont importantes car elles représentent des opérateurs appelés opérateurs hermitiques qui sont associés à des observables expérimentales.