Leçons de niveau 15

Espace préhilbertien complexe/Annexe/Application à la mécanique quantique

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Application à la mécanique quantique
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Annexe 1
Leçon : Espace préhilbertien complexe

Annexe de niveau 15.

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Espace préhilbertien complexe/Annexe/Application à la mécanique quantique
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Le but de cet annexe n’est pas de présenter l'intégralité du formalisme mathématique de la mécanique quantique, mais de faire un début de passerelle entre les notions présentées dans ce cours de mathématiques et leur application en physique.

Logo physics.svg Pour une présentation plus exhaustive et plus adaptée à la physique, se reporter au cours « Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique ».

Rapide introduction[modifier | modifier le wikicode]

Les espaces préhilbertiens complexes sont également la base mathématique du développement de la physique quantique.

En quelques mots, les particules quantiques sont modélisées par une fonction d'onde , qui représente l'état de la particule. En particulier, cette fonction d'onde est reliée à la probabilité dp de présence de la particule dans un volume dV autour de la position par la relation .

Logo physics.svg Voir le cours d'introduction à la mécanique quantique pour de plus amples informations sur les interprétations physiques de la fonction d'onde.

Notation Bra-ket[modifier | modifier le wikicode]

est généralement une fonction complexe. L'ensemble des fonctions d'onde possibles forme un espace vectoriel, qu'on peut munir du produit scalaire complexe (qu'on suppose défini)

Paul Dirac, dont la contribution à cette nouvelle physique a été très grande, a introduit une nouvelle notation, dite « bra-ket » pour écrire les équations de la mécanique quantique. En anglais, le terme « bracket » désigne les sortes de parenthèses anguleuses qui jalonnent les cours mettant en jeu des produits scalaires.


On peut alors effectuer les mêmes manipulations linéaires que sur un vecteur normal. Par exemple, si et sont deux fonctions d'onde, la superposition avec a pour ket associé :

De plus, à partir d'un vecteur , on peut construire un élément de l'espace dual à travers l’application . Dans le cas des espaces hermitiens, on a même un isomorphisme.


Ainsi, si l’on veut calculer le produit scalaire du vecteur et du vecteur , on peut appliquer le bra au vecteur , ce qui se note ou, plus simplement…  !

On peut faire également des opérations sur les bras, mais cette fois, de façon semi-linéaire, toujours à cause de la définition du produit scalaire complexe qui est semi-linéaire à gauche : si et sont deux fonctions d'onde, la superposition des bras qui leur sont associés donne :

Décomposition en base orthonormée dans un espace hilbertien[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans un espace hilbertien de dimension n muni d'une base orthonormée .

Soit un vecteur de cet espace.

  • La décomposition de x suivant la base e s'écrit
  • Le projecteur orthogonal sur le vecteur de base est l’application
En effet, appliquée au ket , on obtient .
Panneau d’avertissement On observe que l'ordre des éléments est important :
  • est une application
  • est un scalaire

Opérateur hermitique[modifier | modifier le wikicode]


En physique quantique, ces matrices hermitiennes sont importantes car représentent des opérateurs appelés opérateurs hermitiques qui sont associés à des observables expérimentales.