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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Espace préhilbertien complexe : Espaces hermitiens
Espace préhilbertien complexe/Espaces hermitiens », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On suppose dans ce chapitre que E un espace hermitien de dimension n, non réduit à {0}.
Début d’un théorème
Théorème
Il existe une base orthonormée de E.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème de la base orthonormée incomplète
Soit
une famille orthonormale de vecteurs de E (
)
Alors cette famille peut être complétée en une base orthonormée de E
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème
Soit F un sous-espace vectoriel de E.
Alors :
![{\displaystyle E=F\oplus F^{\perp }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9073d5aea807a772276cec3216efaa5bba33021)
![{\displaystyle (F^{\perp })^{\perp }=F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b006498e8fabbf600deaf3d5f1de72bab36a814)
Fin du théorème
On munit E d'une base orthonormée
Soit
.
Il existe des coordonnées pour x et y dans la base
:
et ![{\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad159f6dd6b148ecc3c5f330299a7889a8bd4273)
On pose les vecteurs
et
Écriture vectorielle du produit scalaire et de la norme
![{\displaystyle \langle x|y\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}=^{t}\!\!{\bar {X}}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364c3277bd33ec4acb9833f8d9a6004604cb470f)
![{\displaystyle ||x||^{2}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}=^{t}\!\!{\bar {X}}X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b816f29e8867b17d868508804ed8ca76e3802278)
Soient :
![{\displaystyle f\in {\mathcal {SH}}(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5323f105a9196c4a1feb70580dbbafe99d6eec)
la forme hermitienne associée à ƒ
et
deux vecteurs de E
On a :
Remarque
Donc
On pose
et
Écriture matricielle
![{\displaystyle f(x,y)=^{t}\!\!{\bar {X}}AY}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ff687f5eeaf062efaf176524e219c7663570177)
![{\displaystyle \phi (x)=^{t}\!\!{\bar {X}}AX}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b405e676c4dfc5754f9ea583946f884d4c1fcd0)
Début d’un théorème
Isomorphisme canonique avec le dual
On pose l'application
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}\psi &:&E&\rightarrow &E^{*}\\~&~&x&\mapsto &\langle x|\bullet \rangle \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893acbe05110b1c84e337460eff6faceba8d1470)
est un isomophisme sesquilinéaire entre E et son dual.
Fin du théorème
- →
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/20px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png)
Nous verrons en annexe l’intérêt de cet isomorphisme pour l’application à la mécanique quantique, à travers de la notation bra-ket.