Leçons de niveau 15

Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales

Une page de Wikiversité.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Projection et symétrie orthogonales
Image logo représentative de la faculté
Exercices no5
Leçon : Espace euclidien

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Exo suiv. :Adjoints et réduction spectrale
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Projection et symétrie orthogonales
Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien . Soit l'endomorphisme dont la matrice dans la base est

.

Montrer que est une projection orthogonale et préciser sa « base » .

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien . Soit l'hyperplan de d'équation dans la base .

Montrer que la projection orthogonale sur a pour matrice dans la base  :

.

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

On munit du produit scalaire . Soit un polynôme de degré , avec . Pour tout , on note le reste de la division euclidienne de par .

  1. Montrer que est un projecteur de . Déterminer son noyau et son image.
  2. On suppose que et que est une projection orthogonale. Montrer que pour tout et pour tout , on a . En déduire que et donc .
  3. On suppose que . Donner une condition nécessaire et suffisante pour que soit une projection orthogonale.

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit muni du produit scalaire . Soient

.
  1. Montrer que est une base orthonormale de .
  2. Déterminer la projection orthogonale de sur .
  3. En déduire la distance de à .

Exercice 5-5[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans muni de son produit scalaire usuel. Pour quelles valeurs de la matrice

représente-t-elle (dans la base canonique de ) une symétrie orthogonale ?