Leçons de niveau 15

Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales

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Projection et symétrie orthogonales
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Exercices no5
Leçon : Espace euclidien

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Exo suiv. :Adjoints et réduction spectrale
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Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales
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Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien . Soit l'endomorphisme dont la matrice dans la base est

.

Montrer que est une projection orthogonale et préciser sa « base » .

Même question pour

.

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace euclidien et un endomorphisme de .

  1. Démontrer que pour tout polynôme , . En déduire que et ont même polynôme minimal. Prouver que est diagonalisable si et seulement si l'est.
  2. On rappelle (cf. w:Opérateur adjoint#Orthogonalité) que pour tout , . Soient et deux sous-espaces supplémentaires dans et la projection sur parallèlement à .
    1. Montrer, à l'aide du rappel et de la question 1, que est la projection sur parallèlement à .
    2. En déduire que si et seulement si et sont orthogonaux.
  3. est dans cette question l'espace muni de son produit scalaire usuel. Soient et l'opérateur de projection orthogonale sur . Donner la matrice de dans la base canonique de . Quelle propriété possède et pouvait-on la prévoir ?

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

On munit du produit scalaire . Soit un polynôme de degré , avec . Pour tout , on note le reste de la division euclidienne de par .

  1. Montrer que est un projecteur de . Déterminer son noyau et son image.
  2. On suppose que et que est une projection orthogonale. Montrer que pour tout et pour tout , on a . En déduire que et donc .
  3. On suppose que . Donner une condition nécessaire et suffisante pour que soit une projection orthogonale.

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit muni du produit scalaire . Soient

.
  1. Montrer que est une base orthonormale de .
  2. Déterminer la projection orthogonale de sur .
  3. En déduire la distance de à .

Exercice 5-5[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans muni de son produit scalaire usuel. Pour quelles valeurs de la matrice

représente-t-elle (dans la base canonique de ) une symétrie orthogonale ?

Exercice 5-6[modifier | modifier le wikicode]

Diagonaliser dans une base orthonormale (pour le produit scalaire canonique de ) la matrice .

Interpréter géométriquement la transformation de représentée par cette matrice.

Exercice 5-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace euclidien, un sous-espace, une base orthonormée de , la projection orthogonale sur , celle sur , la symétrie orthogonale par rapport à et celle par rapport à .

Montrer que , puis exprimer de même .

Dans euclidien, soit une droite vectorielle dirigée par un vecteur unitaire . Former les matrices et , dans la base canonique, de la projection orthogonale sur et du retournement autour de . Justifier les égalités suivantes : , , , , .

Exercice 5-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace euclidien de dimension et . Montrer que :

  1. s'il existe une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan telle que alors  ;
  2. s'il existe une projection orthogonale sur un hyperplan telle que alors  ;
  3. les réciproques sont vraies.