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Exercice : Projection et symétrie orthogonales
Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien . Soit l'endomorphisme
dont la matrice dans la base est
- .
Montrer que est une projection orthogonale et préciser sa « base » .
Même question pour
- .
Solution
avec , donc est la projection orthogonale sur .
Soient un espace euclidien et un endomorphisme de .
- Démontrer que pour tout polynôme , . En déduire que et ont même polynôme minimal. Prouver que est diagonalisable si et seulement si l'est.
- On rappelle (cf. w:Opérateur adjoint#Orthogonalité) que pour tout , . Soient et deux sous-espaces supplémentaires dans et la projection sur parallèlement à .
- Montrer, à l'aide du rappel et de la question 1, que est la projection sur parallèlement à .
- En déduire que si et seulement si et sont orthogonaux.
- est dans cette question l'espace muni de son produit scalaire usuel. Soient et l'opérateur de projection orthogonale sur . Donner la matrice de dans la base canonique de . Quelle propriété possède et pouvait-on la prévoir ?
Solution
- (car est linéaire sur ) (car ), d'où . On en déduit que si alors , donc le polynôme minimal de divise celui de , et idem en échangeant les rôles de et , d'où l'égalité. En particulier, est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal n'a que des racines réelles et simples, donc si et seulement si celui de — puisque c'est le même — vérifie cette propriété, c'est-à-dire si et seulement si est diagonalisable.
-
- D'après 1, et d'après le rappel, et .
- D'après 2.1, si et seulement si ces deux projections ont mêmes noyaux et images, c'est-à-dire si et seulement si et () , c'est-à-dire si et seulement si les deux supplémentaires sont orthogonaux.
- avec et pour tout , est caractérisé par : , c'est-à-dire avec , d'où donc .
est symétrique, ce qui était prévisible car d'après (2.2), .
On munit du produit scalaire . Soit un polynôme de
degré , avec . Pour tout , on note le reste de la division euclidienne de par .
- Montrer que est un projecteur de . Déterminer son noyau et son image.
- On suppose que et que est une projection orthogonale. Montrer que pour tout et pour tout , on a . En déduire que et donc .
- On suppose que . Donner une condition nécessaire et suffisante pour que soit une projection orthogonale.
Solution
- , (l'ensemble des polynômes divisibles par et de degré ) et .
- Par hypothèse, , c'est-à-dire donc , autrement dit . En particulier (si ) donc (ce qui est absurde puisque par hypothèse, est de degré ; donc dans le cas , n'est jamais une projection orthogonale).
- Si , les calculs précédent montrent que est une projection orthogonale si et seulement si .
Soit muni du produit scalaire . Soient
- .
- Montrer que est une base orthonormale de .
- Déterminer la projection orthogonale de sur .
- En déduire la distance de à .
Solution
- est la matrice d'une permutation circulaire d'ordre donc pour tous , le réel vaut si et sinon.
- .
donc .
- .
On se place dans muni de son produit scalaire usuel. Pour quelles valeurs de la matrice
représente-t-elle (dans la base canonique de ) une symétrie orthogonale ?
Solution
est le plan d'équation et est la droite de vecteur directeur .
représente une symétrie orthogonale si et seulement si ces deux sous-espaces sont orthogonaux, c'est-à-dire colinéaire à , ce qui équivaut à .
Diagonaliser dans une base orthonormale (pour le produit scalaire canonique de ) la matrice .
Interpréter géométriquement la transformation de représentée par cette matrice.
Soient un espace euclidien, un sous-espace, une base orthonormée de , la projection orthogonale sur , celle sur , la symétrie orthogonale par rapport à et celle par rapport à .
Montrer que , puis exprimer de même .
Dans euclidien, soit une droite vectorielle dirigée par un vecteur unitaire . Former les matrices et , dans la base canonique, de la projection orthogonale sur et du retournement autour de . Justifier les égalités suivantes : , , , , .
Solution
- Soit , donné par avec .
donc .
- Toute projection vérifie et toute symétrie vérifie , d'où .
- De plus et car les projections orthogonales et les symétries orthogonales sont autoadjointes (l'un se déduit de l'autre via la relation ; redémontrons que (bien qu'ici on constate directement que ) : et de même en intervertissant , d'où .
- Enfin, car et de même .
Soient un espace euclidien de dimension et .
Montrer que :
- s'il existe une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan telle que alors ;
- s'il existe une projection orthogonale sur un hyperplan telle que alors ;
- les réciproques sont vraies.