En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Projection et symétrie orthogonales
Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien
. Soit
l'endomorphisme
dont la matrice dans la base
est
.
Montrer que
est une projection orthogonale et préciser sa « base »
.
Même question pour
.
Solution
avec
, donc
est la projection orthogonale sur
.
Soient
un espace euclidien et
un endomorphisme de
.
- Démontrer que pour tout polynôme
,
. En déduire que
et
ont même polynôme minimal. Prouver que
est diagonalisable si et seulement si
l'est.
- On rappelle (cf. w:Opérateur adjoint#Orthogonalité) que pour tout
,
. Soient
et
deux sous-espaces supplémentaires dans
et
la projection sur
parallèlement à
.
- Montrer, à l'aide du rappel et de la question 1, que
est la projection sur
parallèlement à
.
- En déduire que
si et seulement si
et
sont orthogonaux.
est dans cette question l'espace
muni de son produit scalaire usuel. Soient
et
l'opérateur de projection orthogonale sur
. Donner la matrice
de
dans la base canonique de
. Quelle propriété possède
et pouvait-on la prévoir ?
Solution
(car
est linéaire sur
)
(car
), d'où
. On en déduit que si
alors
, donc le polynôme minimal de
divise celui de
, et idem en échangeant les rôles de
et
, d'où l'égalité. En particulier,
est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal n'a que des racines réelles et simples, donc si et seulement si celui de
— puisque c'est le même — vérifie cette propriété, c'est-à-dire si et seulement si
est diagonalisable.
-
- D'après 1,
et d'après le rappel,
et
.
- D'après 2.1,
si et seulement si ces deux projections ont mêmes noyaux et images, c'est-à-dire si et seulement si
et (
)
, c'est-à-dire si et seulement si les deux supplémentaires
sont orthogonaux.
avec
et pour tout
,
est caractérisé par :
, c'est-à-dire
avec
, d'où
donc
.
est symétrique, ce qui était prévisible car d'après (2.2),
.
On munit
du produit scalaire
. Soit
un polynôme de
degré
, avec
. Pour tout
, on note
le reste de la division euclidienne de
par
.
- Montrer que
est un projecteur de
. Déterminer son noyau et son image.
- On suppose que
et que
est une projection orthogonale. Montrer que pour tout
et pour tout
, on a
. En déduire que
et donc
.
- On suppose que
. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que
soit une projection orthogonale.
Solution
,
(l'ensemble des polynômes divisibles par
et de degré
) et
.
- Par hypothèse,
, c'est-à-dire
donc
, autrement dit
. En particulier (si
)
donc
(ce qui est absurde puisque par hypothèse,
est de degré
; donc dans le cas
,
n'est jamais une projection orthogonale).
- Si
, les calculs précédent montrent que
est une projection orthogonale si et seulement si
.
Soit
muni du produit scalaire
. Soient
.
- Montrer que
est une base orthonormale de
.
- Déterminer la projection orthogonale de
sur
.
- En déduire la distance de
à
.
Solution
est la matrice d'une permutation circulaire d'ordre
donc pour tous
, le réel
vaut
si
et
sinon.
.
donc
.
.
On se place dans
muni de son produit scalaire usuel. Pour quelles valeurs de
la matrice
![{\displaystyle M=-{\frac {2}{3}}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&t&1\\t^{-1}&-{\frac {1}{2}}&t^{-1}\\1&t&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f394b7963fb4bd9a0ebe4fe7dd201ebb9d4e317)
représente-t-elle (dans la base canonique de
) une symétrie orthogonale ?
Solution
est le plan d'équation
et
est la droite de vecteur directeur
.
représente une symétrie orthogonale si et seulement si ces deux sous-espaces sont orthogonaux, c'est-à-dire
colinéaire à
, ce qui équivaut à
.
Diagonaliser dans une base orthonormale (pour le produit scalaire canonique de
) la matrice
.
Interpréter géométriquement la transformation de
représentée par cette matrice.
Soient
un espace euclidien,
un sous-espace,
une base orthonormée de
,
la projection orthogonale sur
,
celle sur
,
la symétrie orthogonale par rapport à
et
celle par rapport à
.
Montrer que
, puis exprimer de même
.
Dans
euclidien, soit
une droite vectorielle dirigée par un vecteur unitaire
. Former les matrices
et
, dans la base canonique, de la projection orthogonale
sur
et du retournement
autour de
. Justifier les égalités suivantes :
,
,
,
,
.
Solution
- Soit
,
donné par
avec
.
donc
.
- Toute projection
vérifie
et toute symétrie
vérifie
, d'où
.
- De plus
et
car les projections orthogonales et les symétries orthogonales sont autoadjointes (l'un se déduit de l'autre via la relation
; redémontrons que
(bien qu'ici on constate directement que
) :
et de même en intervertissant
, d'où
.
- Enfin,
car
et de même
.
Soient
un espace euclidien de dimension
et
.
Montrer que :
- s'il existe une symétrie orthogonale
par rapport à un hyperplan telle que
alors
;
- s'il existe une projection orthogonale
sur un hyperplan telle que
alors
;
- les réciproques sont vraies.