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Exercice : Ensembles et opérations
Ensemble (mathématiques)/Exercices/Ensembles et opérations », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Vrai ou faux ? (justifier la réponse !)
?
?
?
?
?
Solution
- Faux. En général on a seulement
.
Pour que l'inclusion réciproque soit vraie, il faut en particulier que
appartienne à
, c'est-à-dire soit inclus dans
ou dans
, ce qui revient à :
ou
.
- Vrai car
et
.
- Faux en général, pour une simple raison de cardinal (ou parce que le second ensemble est un ensemble de couples et pas le premier).
- Vrai car les deux sont des ensembles de couples, et
.
- Faux car (par exemple) le second est un ensemble de couples, mais pas le premier si
n'en est pas un.
Démontrer les équivalences :
. À quelle condition a-t-on
?
Démontrer l'équivalence :
.
Pour tout
, notons
le sous-ensemble de
formé des multiples de
.
- Caractériser
, pour
.
- Caractériser
et
, où
désigne l'ensemble des nombres premiers.
Soient
trois ensembles.
- Démontrer que si
et
alors
.
- Démontrer l'équivalence
.
Solution
- Si
et
, soit
. Alors,
donc si
,
et si
alors
.
-
- La méthode la plus simple consiste à coder les opérations ensemblistes par les opérations modulo 2 sur les fonctions indicatrices. Il s'agit alors de montrer que
est équivalent à
, c'est-à-dire à
, ou encore à
. Sous cette forme, l'équivalence est immédiate.
- Autre méthode :
, tandis que
. Le premier ensemble est donc toujours inclus dans le second, et ils sont égaux si et seulement si
, c'est-à-dire si
et
sont disjoints de
, autrement dit si
et
, ce qui est bien équivalent à
.
À quelle condition a-t-on respectivement
?
?
?
Solution
donc :
si et seulement si
ou
est vide ;
si et seulement si
,
et
;
si et seulement si
et
, ou l'inverse. Plus explicitement :
et
.
Soient
des parties d'un ensemble
. Établir :
, tandis que
;
et
;
;
;
et
sont complémentaires dans
;
;
.
Soient
deux parties d'un ensemble
. Discuter et résoudre dans
l'équation en
:
,
,
.
Soient
un ensemble,
deux parties de
et
.
- Montrer que
est injective si et seulement si
et que
est surjective si et seulement si
.
- Lorsque
est bijective, déterminer
.
Solution
Soient
, cherchons les
tels que
; pour qu'il en existe il faut que
, et les solutions sont alors les
de la forme
avec
. Donc
est injective si et seulement si
et surjective si et seulement si
.
Plus élémentairement : si
alors
est injective car
; par contre si
alors
.
Si
alors
est surjective car
; par contre si
alors
n'a pas d'antécédent par
. Si
est bijective,
.