Leçons de niveau 14

Ensemble (mathématiques)/Exercices/Ensembles

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Ensembles
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Exercices no1
Leçon : Ensemble (mathématiques)

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
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Ensemble (mathématiques)/Exercices/Ensembles
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout ensemble , vérifier que et que .

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Vrai ou faux ? a)  ? b)  ? c)  ? d)  ?
  2. Décrire les éléments de et de .

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

À partir de la définition des couples par , montrer que :

  1.  ;
  2. .

Avec cette même définition, décrire en compréhension le produit cartésien de deux ensembles et , comme sous-ensemble de .

A-t-on  ?

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

On pose et . Montrer que les ensembles sont deux à deux distincts et que l'ensemble n'est égal à aucun des ensembles .

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux prédicats. On suppose : . Montrer que si est collectivisant alors l'est aussi.

Le prédicat est-il collectivisant ?

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que .
  2. À quelle condition a-t-on respectivement  ?  ?  ?

Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]

On pose et . Montrer que les ensembles sont deux à deux distincts. L'ensemble est-il égal à l'un des ensembles  ?

Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Ensemble transitif ».

On dit qu'un ensemble est transitif si tout élément de est inclus dans  : .

  1. On définit par récurrence et . Démontrer que les sont transitifs.
  2. Démontrer que les forment une suite strictement croissante d'ensembles (pour l'inclusion). Combien l'ensemble a-t-il d'éléments ?
  3. Prouver plus généralement que si un ensemble est transitif, alors l'ensemble l'est également, et que si de plus , alors et l'inclusion est stricte.

Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Axiome de fondation ».
  1. Dans certaines variantes de la théorie des ensembles, on introduit l'axiome de fondation : . Démontrer que cet axiome équivaut à l'affirmation suivante : il n'existe pas de suite d'ensembles telle que . (Pour l'implication directe, considérer .)
  2. Démontrer que l'axiome de fondation entraine qu'il n'existe aucun ensemble qui soit élément de lui-même.
  3. On pose (« successeur » de ). Sous la même hypothèse, montrer que sont deux à deux distincts.
  4. Toujours sous l'hypothèse de l'axiome de fondation, la relation est-elle collectivisante ? Et la relation  ?