Aller au contenu

Ensemble (mathématiques)/Exercices/Ensembles

Leçons de niveau 14
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Ensembles
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Ensemble (mathématiques)

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Ensembles et opérations
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Ensembles
Ensemble (mathématiques)/Exercices/Ensembles
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Pour tout ensemble , vérifier que et que .

  1. Vrai ou faux ?
    • a)  ?
    • b)  ?
    • c)  ?
    • d)  ?
  2. Décrire les éléments de et de .

À partir de la définition des couples par , montrer que :

  1.  ;
  2. .

Avec cette même définition, décrire en compréhension le produit cartésien de deux ensembles et , comme sous-ensemble de .

A-t-on  ?

On pose et . Montrer que les ensembles sont deux à deux distincts et que l'ensemble n'est égal à aucun des ensembles .

Soient et deux prédicats. On suppose : . Montrer que si est collectivisant alors l'est aussi.

Le prédicat est-il collectivisant ?

  1. Montrer que .
  2. À quelle condition a-t-on respectivement  ?  ?  ?

On pose et . Montrer que les ensembles sont deux à deux distincts. L'ensemble est-il égal à l'un des ensembles  ?

descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Ensemble transitif ».

On dit qu'un ensemble est transitif si tout élément de est inclus dans  : .

  1. On définit par récurrence et . Démontrer que les sont transitifs.
  2. Démontrer que les forment une suite strictement croissante d'ensembles (pour l'inclusion). Combien l'ensemble a-t-il d'éléments ?
  3. Prouver plus généralement que si un ensemble est transitif, alors l'ensemble l'est également, et que si de plus , alors et l'inclusion est stricte.
descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Axiome de fondation ».
  1. Dans certaines variantes de la théorie des ensembles, on introduit l'axiome de fondation : . Démontrer que cet axiome équivaut à l'affirmation suivante : il n'existe pas de suite d'ensembles telle que . (Pour l'implication directe, considérer .)
  2. Démontrer que l'axiome de fondation entraine qu'il n'existe aucun ensemble qui soit élément de lui-même.
  3. On pose (« successeur » de ). Sous la même hypothèse, montrer que sont deux à deux distincts.
  4. Toujours sous l'hypothèse de l'axiome de fondation, la relation est-elle collectivisante ? Et la relation  ?