Discussion:Théorie des groupes/Groupes libres : théorème de Howson

Hypothèse X fini dans le lemme

Elle n'est pas utilisée dans la première partie de la preuve (rang fini ⇒ les classes à terminaisons multiples sont en nombre fini).

Elle l'est au début de la réciproque (12), mais il me semble qu'on pourrait s'en passer : si H est de type fini alors H ⊂ F(Y) avec Y partie finie de X, et si Hw est à terminaisons multiples alors w^-1 est un segment final d'un élément de H, donc w ∈ F(Y).

Un sous-produit de ce renforcement du lemme serait d'éviter le (petit !) raisonnement, au début de la preuve du théorème, qui permet de se ramener au cas où F est de rang fini. Mais je reconnais que l'intérêt est faible. Est-ce que, au moins, je ne dis pas de bêtises ?

Anne, 15/12/2021

Il me semble que tu as raison. Ta remarque " si Hw est à terminaisons multiples alors w^-1 est un segment final d'un élément de H" est importante. Si je ne me trompe, ce fait n'est pas noté dans le chapitre, mais il mériterait de l'être. (En faire un lemme ?) Donc si tu veux renforcer le lemme 1 et simplifier la suite en conséquence, je suis d'accord. Marvoir (discuter) 16 décembre 2021 à 09:50 (UTC)

Si, tu l'as noté dans le chapitre, juste après l'actuel (9) :

« Si C est à terminaisons multiples, il existe un élément h de H tel que la dernière lettre signée de l'élément ht de C soit distincte de la dernière lettre signée de l'élément t de C. Cela exige que h finisse par le mot signé t^-1 ; autrement dit, h^-1 commence par le mot signé t. »

Je l'avais intuité mais ça m'a rassurée de le voir écrit.

D'accord, je vais « renforcer le lemme 1 et simplifier la suite en conséquence », et souligner la remarque (qui du coup va servir 2 fois), mais sans en faire un lemme, par flemme de rédiger une démonstration. Anne, 14 h 12

Non, j'ai dit une grosse bêtise : j'ai cru, à l'aide de « notre remarque », pouvoir réécrire sans l'hypothèse « X fini » la seconde partie de la preuve du lemme, alors que je (re-)traitais la première. L'hypothèse X fini est indispensable pour que tout sous-groupe H de rang infini de F(X) ait une infinité de classes à terminaisons multiples. Contre-exemple sinon : H = F(X). Anne, 16 h 44

Faute avouée... Tu pourrais peut-être indiquer ton contre-exemple (comme « évident », bien que nous n'y ayons pas pensé tout de suite). Marvoir (discuter) 16 décembre 2021 à 16:38 (UTC)