Discussion:Théorie des groupes/Commutateurs, groupe dérivé

Sur l'indépendance des résultats vis à vis de la définition de [x, y]

Bonsoir,

Sauf erreur, tous les résultats énoncés avant la partie Compléments sont valables tels quels avec l'autre définition de [x, y], i.e. [x, y] = xyx^-1y^-1 (pour x et y éléments d'un groupe G). Comme je me suis sérieusement posé la question concernant le théorème

Soient G un groupe et X une partie génératrice de G. Le dérivé de G est le sous-groupe normal de G engendré par les commutateurs [x, y], où x et y parcourent X.

j'ai rédigé quelques explications montrant l'indépendance de ce résultat vis à vis de la définition choisie pour le commutateur de deux éléments d'un groupe. Concrètement :

1) J'ajoute la mention « (voir détail ci-dessous) » à la fin de la phrase suivante de la démonstration :

Puisque H comprend tous les commutateurs [x, y] avec x et y dans X, tous les éléments de $\varphi (X)$ commutent entre eux.

2) Ensuite, j'insère ceci à la fin de la démonstration (je n'indente pas avec ":", je crois que ça marche mal avec les listes) :

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Détail concernant l'assertion « tous les éléments de $\varphi (X)$ commutent entre eux »

Soient xH et yH deux éléments de $\varphi (X)$, où x et y sont des éléments de X. Il s'agit de montrer que (xH)(yH) = (yH)(xH), autrement dit que xyH = yxH.

• Avec la définition des commutateurs utilisée dans ce cours, [x, y] = x^-1y^-1xy. Par définition de H, ce commutateur appartient à H, d'où H = [x, y]H et yxH = yx[x, y]H = xyH.
• Avec l'autre définition possible du commutateur de deux éléments de G, le théorème reste valable sans modification d'énoncé. En effet, on a dans ce cas [x, y] = xyx^-1y^-1. De même que ci-dessus, ce commutateur « autre définition » est un élément de H, d'où Hyx = H[x, y]yx = Hxy. Comme H est normal dans G, on en déduit yxH = Hyx = Hxy = xyH.

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3) Enfin, j'ajoute ce qui suit après la démonstration du théorème :

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Voici deux autres manières de se convaincre que le théorème précédent est indépendant de la définition choisie pour [x, y], parmi les deux couramment utilisées dans la littérature qui ont été mentionnées au début du chapitre :

• Dans un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur, nous avons montré que si G est un groupe et Y une partie de G, alors le sous-groupe normal de G engendré par Y est le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de Y. En utilisant ce fait ainsi que les formules 1 et 9 données au début de la partie Compléments ci-dessous, on peut montrer que le sous-groupe normal de G engendré par les commutateurs [x, y], où x et y parcourent X, est égal au sous-groupe normal de G engendré par les commutateurs [x^-1, y^-1], où x et y parcourent X.
• Dans le problème 8 de la série d'exercices sur ce chapitre, on établit une généralisation du théorème précédent. En examinant la solution proposée, on voit qu'elle n'utilise que des résultats valables quelle que soit la définition choisie pour le commutateur de deux éléments d'un groupe (en particulier, si A et B sont deux sous-groupes d'un groupe G, le sous-groupe [A, B] ne dépend pas de la définition choisie pour le commutateur de deux éléments de G).

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Si cela vous convient, j'appliquerai ce « patch » à la leçon (i.e., ces modifications). Je crois qu'il y a deux autres endroits avant la partie Compléments où l'on pourrait signaler l'indépendance vis à vis de la définition choisie :

• la définition du sous-groupe [A, B], lorsque A et B sont des sous-groupes d'un groupe G ;
• la définition du groupe dérivé.

Comme ces deux cas sont à peu près immédiats, la mention peut être beaucoup plus discrète. ;-)

Qu'en pensez-vous ? Merci.

--Flo R. (discussion) 27 octobre 2018 à 23:25 (UTC)

Ce n'est pas une mauvaise idée de montrer que les résultats en question sont indépendants de la définition des commutateurs d'éléments, mais je ne multiplierais pas les justifications.

Pour le sous-groupe normal de G engendré par les commutateurs d'éléments d'une partie X, je mettrais une de vos justifications rédigée comme suit pour éviter d'utiliser les Compléments : notons Com₁(X) l'ensemble des éléments de la forme $x^{-1}y^{-1}xy$ avec x et y dans X et par Com₂(X) l'ensemble des éléments de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$ avec x et y dans X; il s'agit de prouver que le sous-groupe normal de G engendré par Com₁(X) est égal au sous-groupe normal de G engendré par Com₂(X). Tout élément de Com₁(X) est conjugué d'un élément de Com₂(X); en effet, ab est toujours conjugué de ba, puisque ab = a(ba)a^-1; on obtient l'argument en faisant $a=x^{-1}y^{-1}$ et b = xy. De même, tout élément de Com₂(X) est conjugué d'un élément de Com₁(X). Il en résulte que les conjugués d'éléments de Com₁(X) sont exactement les conjugués d'éléments de Com₂(X). Puisque le sous-groupe de normal de G engendré par Com₁(X) (resp. Com₂(X)) est le sous-groupe de G engendré par les conjugués d'éléments de Com₁(X) (resp. Com₂(X)), il en résulte que le sous-groupe normal de G engendré par Com₁(X) est égal au sous-groupe normal de G engendré par Com₂(X), comme annoncé. On peut même étendre cette démonstration au sous-groupe normal engendré par les commutateurs [x,y], où x parcourt une partie X et y une partie Y.

Pour l'assertion « tous les éléments de $\varphi (X)$ commutent entre eux », on peut dire aussi :

Si tout commutateur d'éléments de X, au sens que nous avons choisi pour le mot "commutateur", appartient à H, nous avons, pour tous x, y dans X, $x^{-1}y^{-1}xy\in H$, d'où, dans le groupe G/H, $(xH)^{-1})(yH)^{-1}(xH)(yH)=1$ (appliquer l'homomorphisme canonique), d'où $(xH)(yH)=(yH)(xH)$.

Si maintenant tout commutateur d'éléments de X, selon l'autre sens du mot "commutateur", appartient à H, nous avons, pour tous x, y dans X, $xyx^{-1}y^{-1}\in H$, d'où, dans le groupe G/H, $(xH)(yH)(xH)^{-1})(yH)^{-1}=1$ (appliquer l'homomorphisme canonique), d'où, de nouveau, $(xH)(yH)=(yH)(xH)$.

En fait, cela repose sur le fait que l'assertion "deux éléments x et y de G commutent si et seulement si le commutateur [x,y] est égal à l'élément neutre" est vraie dans les deux sens du mot "commutateur"; on applique cette assertion au groupe quotient G/H.

Si ma réponse laisse des questions en suspens, n'hésitez pas à me le dire. Marvoir (discussion) 28 octobre 2018 à 09:34 (UTC)

Merci beaucoup pour ces explications. Votre justification avec Com₁(X) et Com₂(X) est en effet élégante et naturelle. Si vous voulez faire les modifs vous même, aucun problème ; sinon, je les ferai d'ici quelques jours. Bon dimanche !

--Flo R. (discussion) 28 octobre 2018 à 12:44 (UTC)

Je n'avais pas eu le temps tout à l'heure de bien considérer votre deuxième point, j'y réponds maintenant. En effet, c'est limpide. Je vais essayer de résumer avec mes mots. On a choisi H de sorte qu'il soit normal dans G (pour pouvoir travailler avec le groupe quotient G/H) et qu'il contienne tous les [x, y] qui nous intéressent, à savoir ceux tels que x et y soient dans X. Ces [x, y] (peu importe la définition choisie) sont donc tous dans la même classe modulo H, à savoir l'élément neutre de G/H. Or l'homomorphisme canonique de G dans G/H étant un morphisme, il envoie chacun de ces [x, y] sur le commutateur [xH, yH] des classes correspondantes. Pour tous x et y dans X, [xH, yH] est donc égal à l'élément neutre de G/H, ce qui prouve que les classes xH et yH commutent. Je crois que j'y vois plus clair maintenant, merci beaucoup !

--Flo R. (discussion) 28 octobre 2018 à 15:58 (UTC)

Puisque c'est vous qui avez eu l'idée (bonne) de montrer que les résultats en question ne dépendent pas de la définition choisie pour les commutateurs, je propose que vous modifiiez la page vous-même. Visiblement, vous êtes motivé. Marvoir (discussion) 28 octobre 2018 à 16:05 (UTC)

Encore une petite remarque : pour justifier l'assertion « tous les éléments de $\varphi (X)$ commutent entre eux », on n'est pas obligé de passer par l'écriture xH. De $[x,y]\in H$, on tire, en appliquant l'homomorphisme $\varphi$,

$[\varphi (x),\varphi (y)]=1$ dans G/H, ce qui signifie (avec n'importe quelle définition des commutateurs) que $\varphi (x)$ et $\varphi (y)$ commutent dans G/H. Marvoir (discussion) 28 octobre 2018 à 16:47 (UTC)

En effet. Je ne l'avais pas dit très explicitement, mais quand j'ai écrit

Or l'homomorphisme canonique de G dans G/H étant un morphisme, il envoie chacun de ces [x, y] sur le commutateur [xH, yH] des classes correspondantes.

dans mon message précédent, je pensais justement à $\varphi ([x,y])=[\varphi (x),\varphi (y)]$ avec $\varphi (x)=xH$ et $\varphi (y)=yH$ (inutile de passer par les expressions du style x^-1y^-1xy). Merci pour la précision, cela dit. :-)

--Flo R. (discussion) 28 octobre 2018 à 17:48 (UTC)

Bonjour Marvoir,

Voilà, j'ai appliqué les modifs en réutilisant largement ce que vous avez écrit avec Com₁(X) et Com₂(X). N'hésitez pas à modifier si vous trouvez trop détaillé ou n'aimez pas le résultat rappelé avec la notation G₀...

--Flo R. (discussion) 31 octobre 2018 à 16:17 (UTC)

Cela me semble irréprochable. Merci d'avoir ajouté cette remarque intéressante. Marvoir (discussion) 31 octobre 2018 à 16:37 (UTC)

Merci pour ce retour. Il faut dire que vous y avez grandement participé. :)

--Flo R. (discussion) 1 novembre 2018 à 22:21 (UTC)

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