Discussion:Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair

Entiers quadratiques

Bonjour Fabo34,

Merci pour cette recherche que j'ai vue via un message de HB sur le projet Mathématiques de wikipédia.

Il n'est au fond pas "étonnant" qu'il existe des entiers A et B tels que ${(x-y)}^{n}=xA^{2}-yB^{2}$ quand on y voit les bonnes structures algébriques, à savoir quelque chose qui s'approche des entiers quadratiques. On peut démontrer l'existence de A et B sans manipuler le binôme de Newton.

Considérons trois éléments $r_{x},r_{y}$ et $r_{xy}$ qui vont être des racines carrées de $x,y$ et $xy$ respectivement et intéressons-nous à l'ensemble de leurs combinaisons linéaires entières (entre eux et avec 1), $E=\{t+ur_{x}+vr_{y}+wr_{xy}|t,u,v,w\in \mathbb {Z} \}$. Formellement, on peut considérer que $E=\mathbb {Z} ^{4}$ auquel on donne une loi multiplicative en définissant la multiplication entre les quatre éléments de base $1,r_{x},r_{y},r_{xy}$ de la façon suivante (la multiplication de deux combinaisons linéaires quelconques s'en déduit par linéarité) :

• 1 est l'élément neutre
• $r_{x}^{2}=x,r_{y}^{2}=y,r_{xy}^{2}=xy$
• $r_{x}r_{y}=r_{y}r_{x}=r_{xy}$
• $r_{x}r_{xy}=r_{xy}r_{x}=xr_{y}$
• $r_{y}r_{xy}=r_{xy}r_{y}=yr_{x}$

Ces définitions viennet naturellement si on considère les éléments de base comme des racines carrées, mais j'évite les notations ${\sqrt {x}},{\sqrt {y}},{\sqrt {xy}}$ car elles peuvent désigner un élément de $\mathbb {Z}$ (x, y ou xy peut être un carré parfait) or $r_{x},r_{y}$ et $r_{xy}$ sont par construction en-dehors de $\mathbb {Z}$. La multiplication fait de E un anneau commutatif. Il possède un sous-anneau $E_{1}=\{t+wr_{xy}|t,w\in \mathbb {Z} \}$ (qui est l'anneau des entiers quadratiques $\mathbb {Z} [{\sqrt {xy}}]$, ou $\mathbb {Z} [r_{xy}]$ avec mes notations) ainsi qu'un sous-groupe linéaire $E_{2}=\{ur_{x}+vr_{y}|u,v\in \mathbb {Z} \}$ qui ont la propriété que le produit de deux éléments de $E_{2}$ est dans $E_{1}$, et le produit d'une élément de $E_{1}$ avec un élément de $E_{2}$ est dans $E_{2}$. Toute puissance impaire d'un élément de $E_{2}$ est donc dans $E_{2}$.

Enfin on définit $\sigma$, la conjugaison par rapport à $r_{y}$, par $\sigma (t+ur_{x}+vr_{y}+wr_{xy})=t+ur_{x}-vr_{y}-wr_{xy}$. Cette conjugaison est linéaire (et même $\mathbb {Z} [r_{x}]$ - linéaire) et multiplicative : $\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)$. Sur $E_{1}$ (ainsi que sur $\mathbb {Z} [r_{y}]$, mais pas sur $\mathbb {Z} [r_{x}]$ !), elle coïncide avec la conjugaison décrite à w:Entier quadratique#Conjugué et norme.

Enfin on définit la norme $N(a)=a\sigma (a)$. Puisque la conjugaison est multiplicative, la norme l'est aussi. $N$ est à valeurs entières sur $E_{1}$ et sur $E_{2}$ (mais pas sur la totalité de $E$). Sur $E_{1}$, $\forall t,w\in \mathbb {Z} ,\ N(t+wr_{xy})=t^{2}-xyw^{2}$ (comme sur l'article wikipédia, avec $d=xy$) et sur $E_{2}$, $\forall u,v\in \mathbb {Z} ,\ N(ur_{x}+vr_{y})=xu^{2}-yv^{2}$. Donc :

$x-y=N(r_{x}+r_{y})$

${(x-y)}^{n}={\left(N(r_{x}+r_{y})\right)}^{n}=N\left({(r_{x}+r_{y})}^{n}\right)$ (multiplicativité de la norme)

$r_{x}+r_{y}\in E_{2}$ donc par mise à une puissance impaire, ${(r_{x}+r_{y})}^{n}\in E_{2}$. Donc il existe des entiers $A$ et $B$ tels que ${(r_{x}+r_{y})}^{n}=Ar_{x}+Br_{y}$. On a alors ${(x-y)}^{n}=N\left(Ar_{x}+Br_{y}\right)=xA^{2}-yB^{2}$. GrandEscogriffe (discuter) 9 septembre 2023 à 11:35 (UTC)

Bonjour.

Merci beaucoup pour ces précisions! C'est très enrichissant. Effectivement, cela relève bien de la "structure". Ca titillait avec $x+y=|{\sqrt {x}}+i{\sqrt {y}}|$ . Mais je trouve la preuve du wiki très belle car elle peut être comprise par un lycéen. Cela dit, même à des mathématiciens chevronnés, l'étonnement est quasi systématique lorsque je présente cette "formule des carrés". Comme une oubliée de l'Histoire, sa résurgence frappe l'étonnement! Mon bagage technique n'est malheureusement pas (encore) aussi avancé sur les forme quadratique, je n'ai pas eu votre intuition. En fait, Je suis "tombé" sur cette forme par des applications numériques en cherchant des agencements des termes du binôme de Newton qui aboutissent tout le temps à 2 termes copremiers. Cela dans le cadre d'une revisite du grand théorème de Fermat, en cherchant des "généralités" à la décomposition d'une puissance. Après la "route des pietons", comme dit Yves Hellegouarch dans son livre "Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles", il y a les formes quadratiques, domaine où excellait Fermat. Page 38, il écrit "On peut penser que pour les exposants $p$ premiers impairs, Fermat associait à son équation la forme quadratique $X^{2}+(-1)^{(p+1)/2}pY^{2}$" . Voilà, j'ai eu cette furtive joie d'avoir retrouvé comment faire apparaître des carrés et d'en trouver la formule. Mais il reste bien du chemin ...

Bien à vous. Fabo34 (discuter) 9 septembre 2023 à 16:32 (UTC)

Oh, en fait « il existe des entiers A et B tels que ${(x-y)}^{n}=xA^{2}-yB^{2}$ » est trivialement vrai car ${(x-y)}^{n}=xC^{2}-yC^{2}$ avec $C={(x-y)}^{(n-1)/2}$.

Si on appelle $a_{1}=r_{x}+r_{y}$, les couples $(A,B)$ qui vérifient cela sont donnés par les $a_{n}=Ar_{x}+Br_{y}\in E_{2}$ qui vérifient $N(a_{n})={N(a_{1})}^{n}$. Les $a_{n,k}={N(a_{1})}^{k}{a_{1}}^{n-2k}$ où $k=0,..,(n-1)/2$ sont une famille de telles solutions, allant de la "plus complexe" que vous avez trouvée avec le binôme de Newton à $k=0$ (la seule où A et B peuvent être copremiers) à la solution triviale à $k=(n-1)/2$. GrandEscogriffe (discuter) 11 septembre 2023 à 21:20 (UTC)