Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair

On rappelle la formule du binôme: $(x+y)^{n}=\sum _{i+j=n}{\dfrac {n!}{i!j!}}x^{i}y^{j}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$.

Ce wiki est l'étude d'une propriété dans le cas $n=2m+1$.

Nous allons montrer: $\exists ~\alpha \neq \beta ,~(x+y)^{n}=x\alpha ^{2}+y\beta ^{2}$

Et ce résultat dans $\mathbb {Z}$: $(x,y)$ copremiers de parité différente $\Rightarrow$ $(\alpha ,\beta )$ copremiers

Déjà on peut faire apparaître la première forme suivante :

$$(x-y)^{n}=xf_{n}(x^{2},y^{2})-yf_{n}(y^{2},x^{2}),\quad f_{n}(x,y)=\sum _{k=0}^{m}{n \choose 2k}x^{m-k}y^{k}$$

Démonstration:

En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme :

$(x-y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}(-y)^{k}=\sum _{k=0}^{m}{n \choose 2k}x^{2m+1-2k}y^{2k}-\sum _{k=0}^{m}{n \choose 2k+1}x^{2m-2k}y^{2k+1}$

soit $(x-y)^{n}=x\sum _{k=0}^{m}{n \choose 2k}x^{2m-2k}y^{2k}-y\sum _{k=0}^{m}{n \choose 2k+1}x^{2m-2k}y^{2k}$

En posant $k'=m-k$,

$(x-y)^{n}=x\sum _{k=0}^{m}{n \choose 2k}x^{2m-2k}y^{2k}-y\sum _{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'}y^{2m-2k'}x^{2k'}$

D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.

Étonnamment, avec la même fonction $f_{n}(x,y)$, on peut alors faire apparaître la seconde forme recherchée:

Formule des carrés:

$$(x-y)^{n}=xf_{n}(x,y)^{2}-yf_{n}(y,x)^{2},\quad f_{n}(x,y)=\sum _{k=0}^{m}{n \choose 2k}x^{m-k}y^{k}$$

Démonstration:

on a établi :

$(x-y)^{n}=xf(x^{2},y^{2})-yf(y^{2},x^{2})$

En prenant $-y$, cette relation s'écrit:

$(x+y)^{n}=xf(x^{2},y^{2})+yf(y^{2},x^{2})$

En multipliant les deux dernières expressions, on obtient :

$(x^{2}-y^{2})^{n}=x^{2}f(x^{2},y^{2})^{2}-y^{2}f(y^{2},x^{2})^{2}$

D'où la formule en substituant $(x,y)$ à $(x^{2},y^{2})$ .

Exemples pour $n=3$ et $n=5$:

$(x-y)^{3}=x(x+3y)^{2}-y(y+3x)^{2}$ $(x+y)^{3}=x(x-3y)^{2}+y(y-3x)^{2}$

$(x-y)^{5}=x(x^{2}+10xy+5y^{2})^{2}-y(y^{2}+10xy+5x^{2})^{2}$ $(x+y)^{5}=x(x^{2}-10xy+5y^{2})^{2}+y(y^{2}-10xy+5x^{2})^{2}$

Exemples dans l'anneau $\mathbb {Z}$:

${\begin{array}{lll}17^{3}&=(5+12)^{3}=5\times 31^{2}&+12\times 3^{2}\\17^{5}&=(5+12)^{5}=5\times 145^{2}&+12\times 331^{2}\\17^{7}&=(5+12)^{7}=5\times 6929^{2}&+12\times 3767^{2}\\17^{9}&=(5+12)^{9}=5\times 138911^{2}&+12\times 42921^{2}\end{array}}$

En arithmétique, on peut ajouter le résultat général suivant :

$${\text{Pour }}u,v\in \mathbb {Z} {\text{ de parités différentes}},\quad u\wedge v=1\Rightarrow f_{n}(u,v)\wedge f_{n}(v,u)=1$$

Démonstration :

Soient $u,v$ deux entiers de parités différentes. Dans ce cas, $f(u,v)$ et $f(v,u)$ sont impairs.

Considérons $p$ un diviseur premier impair commun. On a donc $f(u,v)\equiv f(v,u)\equiv 0~[p]$ . La formule des carrés implique $u\equiv v~[p]$

En réinjectant dans la définition de $f$, on obtient:

$f(u,v)\equiv \sum _{k=0}^{m}{n \choose 2k}u^{m-k}v^{k}\equiv u^{m}(\sum _{k=0}^{m}{n \choose 2k})\equiv u^{m}(2^{m-1})~[p]$

Par conséquent $f(u,v)\equiv 0\Rightarrow u\equiv 0~[p]$. Même résultat pour $v$.

Ainsi tout diviseur premier commun à $f(u,v)$ et $f(v,u)$ divise aussi $u$ et $v$.

Exemples:

Illustration avec les exemples précédents:

${\begin{array}{lll}17^{3}&=5\times (31)^{2}&+12\times (3)^{2}\\17^{5}&=5\times (5\times 29)^{2}&+12\times (331)^{2}\\17^{7}&=5\times (13^{2}\times 41)^{2}&+12\times (3767)^{2}\\17^{9}&=5\times (31\times 4481)^{2}&+12\times (3^{2}\times 19\times 251)^{2}\end{array}}$

Afin de donner d'autres résultats généraux, entrons un peu dans le détail de $f_{n}$:

$f_{n}(u,v)=\underbrace {u^{m}} _{\text{k=0}}+\underbrace {nv^{m}} _{\text{k=m}}+\underbrace {nmuv^{m-1}} _{\text{k=m-1}}+\sum _{k=1}^{m-2}{n \choose 2k}u^{m-k}v^{k}$

Ainsi on peut donner des conditions de coprimalité entre $u$ et $f(u,v)$.

Deux cas sont généralisables :

• $n$ ne divise pas $u$ :

$$u\wedge v=1,\quad n\nmid u\Rightarrow u\wedge f_{n}(u,v)=1$$

Démonstration:

En reprenant la forme ci- dessus, $f(u,v)=nv^{m}+uP(u,v)$, $P$ un polynôme .

Avec $u\wedge nv^{m}=1$, alors $u\wedge f(u,v)=1$, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de $u$

Exemples:

On peut reprendre un des exemples précédents:

${\begin{array}{llll}(5+12)^{7}&=5\times (13^{2}\times 41)^{2}&+12&\times 3767^{2}\\(u+v)^{7}&=u\times ~~f_{7}(u,v)^{2}&+v&\times f_{7}(v,u)^{2}\end{array}}$

• $n$ divise $u$ :

En ajoutant la condition $n$ premier et supérieur à 5, alors la valuation sur $n$ de $f(u,v)$ est toujours égale à 1.

$$n\in \mathbb {P} ,n\geq 5,\quad u\wedge v=1,\quad n|u\Rightarrow u\wedge f_{n}(u,v)=n$$

Démonstration:

Lorsque $n$ est premier, $n$ divise tous les coefficients binomiaux.

Si $n\geq 5$ , on peut écrire ${\frac {f(nu,v)}{n}}=v^{m}+nuP(u,v)$, $P$ polynôme.

Exemples:

Avec $(u,v)=({\color {green}7^{3}}\times {\color {red}5^{3}},22)$

${\begin{array}{l}n={\color {red}5}\quad f_{5}(u,v)={\color {red}5^{1}}\times 18979\times 19471\\n={\color {green}7}\quad f_{7}(u,v)={\color {green}7^{1}}\times 643\times 743\times 839\times 28393\end{array}}$

Remarque générale: $f(x,y)$ et $f(x^{2},y^{2})$ ne sont pas forcément premiers entre eux!

Exemple pour $n=11$

${\begin{array}{ll}f_{11}(29,18)&=6117463571&=23\times 109\times 2440153\\f_{11}(29^{2},18^{2})&=42623439661994533&=23\times 67\times 27659597444513\end{array}}$

Application 1: équations diophantiennes $(p+1)x^{2}-py^{2}=1$

Avec $(u,v)=(p+1,p)$, des couples solutions sont $(f_{n}(u,v),f_{n}(v,u))_{n}$ pour tout $n$ impair

En effet, avec $u-v=1$, la formule des carrés donne $uf_{n}(u,v)^{2}-vf_{n}(v,u)^{2}=(u-v)^{n}=1^{n}=1$

Exemple: résoudre dans $\mathbb {Z}$ l'équation $3x^{2}-2y^{2}=1$

Il y a donc une infinité de solution

Par exemple, en prenant $n=5$ , les fonctions $(f_{5}(3,2),f_{5}(2,3))=(89,109)$

On a bien $3\times 89^{2}-2\times 109^{2}=1$

Application 2: Équation de Fermat $x^{2}-py^{2}=\pm 1$

Il ne s'agit pas ici de résoudre l'équation. Juste illustrer le fait que si on dispose d'une solution, alors la formule des carrés implique qu'il en existe une infinité.

En effet, si $(x_{0},y_{0})$ est solution, alors en élevant l'équation à la puissance $n$ impair, la formule des carrés donne $(x_{0}f_{n}(x_{0}^{2},py_{0}^{2}),y_{0}f_{n}(py_{0}^{2},x_{0}^{2}))$ également solution. On ne les trouvent pas toutes ainsi, mais on en a une infinité.

Exemple: $x^{2}-3y^{2}=1$

$(2,1)$ est une solution. On en déduit alors une infinité avec les fonctions $f_{n}$

$(f_{3}(4,3),f_{3}(3,4))=(13,15)$ donne $(26,15)$ solution.

$(f_{5}(4,3),f_{5}(3,4))=(181,209)$ donne $(362,209)$ solution.

etc etc ...

Ici on manque $(7,4)$ parce qu'on ne considère que les puissances impaires.

Application 3: Le grand théorème de Fermat

Dans $\mathbb {Z}$, on peut toujours se ramener à la forme $(u+v)^{n}+(u-v)^{n}=(2z)^{n}$, $(u,v)$ premiers entre eux et de parité différente. Ici, avec $n$ impair premier, on peut utiliser les formules des carrés du wiki.

Avec la première formule du wiki, l'expression devient $(u+v)^{n}+(u-v)^{n}=2uf_{n}(u^{2},v^{2})$. C'est la factorisation utilisée par Euler et Dirichlet pour les cas $n=3$ et $n=5$. Ça ne mènera donc pas bien loin, puisque pour les puissances supérieures, les mathématiciens n'ont rien pu en tirer.

Fermat en son temps ayant énormément travaillé sur les carrés, peut-être connaissait-il la deuxième formule, la formule des carrés. Et éventuellement en tirer une forme plus parlante, pouvant aboutir sinon à une démonstration, une intuition.

Par exemple, en partant de $(z-u)^{n}+(z-v)^{n}=z^{n}$, $z$ pair, $u,v$ copremiers impairs,

on arrive à $zf_{n}(z,u)^{2}-uf_{n}(u,z)^{2}+zf_{n}(z,v)^{2}-vf_{n}(v,z)^{2}=z^{n}$,

donc à une forme $z^{n}-z(a^{2}+b^{2})+uc^{2}+vd^{2}=0$, $(a,b),(c,d)$ copremiers impairs.

Avec $g=z^{m}$, on fait apparaître un maximum de carrés, soit $z={\frac {uc^{2}+vd^{2}}{a^{2}+b^{2}-g^{2}}}$

Cette expression de $z$ lui interdirait-il d'être entier? Peut-on appliquer la formule des carrés autrement?

Application 4:

Libre à vous, cher lecteur, si vous avez des idées d'application de ces formules