Continuité et variations/Fonctions continues strictement monotones

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Théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones

Début d’un théorème

Théorème

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I=[a,b]$ alors,

pour tout réel $k$ tel que $f(a)\leq k\leq f(b)$,

l'équation $f(x)=k$ admet une solution $c$ unique dans $[a,b]$.

Fin du théorème

Démonstration

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $c\in I$ tel que $f(c)=k$.

L'unicité de ce réel $c$ vient du fait que $f$ est strictement monotone donc injective. En effet, si par exemple $f$ est strictement croissante et si $a\leq x_{1}<x_{2}\leq b$ alors $f(x_{1})<f(x_{2})$ donc $f(x_{1})\neq f(x_{2})$.

 

Remarque

Par convention, les flèches d'un tableau de variation indiquent la stricte monotonie ; cela permet d'appliquer plus facilement ce théorème.

Extension du théorème à des intervalles ouverts

Début d’un théorème

Théorème

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I=]a,b[$ ($a$ et $b$ pouvant être infinis) alors,

pour tout réel $k$ tel que : $\lim _{a}f<k<\lim _{b}f$,

l'équation $f(x)=k$ admet une solution $c$ unique dans $]a,b[$

Fin du théorème

Remarque

• Les limites aux bornes (éventuellement infinies) existent nécessairement en vertu de la monotonie de $f$.
• On pourrait fabriquer un théorème semblable pour les intervalles semi-ouverts.

Début de l'exemple

Exemple : étude du signe d'une fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f(x)=\operatorname {e} ^{x}+x+1$.

1. Démontrer que $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\mathbb {R}$.
2. Déterminer un encadrement de $\alpha$ au dixième.
3. En déduire le tableau de signe de $f(x)$ sur $\mathbb {R}$.

Solution

1. $f'(x)=\operatorname {e} ^{x}+1>0$ donc $f$ est strictement croissante. Il existe donc au plus un tel $\alpha$.
   Pour montrer qu'il en existe un, on applique le théorème des valeurs intermédiaires : $f$ est continue, $\lim _{-\infty }f=-\infty <0$ et $f(0)=2>0$.
2. $-1{,}28<\alpha <-1{,}27$.
3. ${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&\alpha &&+\infty \\\hline f(x)&&-&0&+&&\\\hline \hline \end{array}}$

 

Fin de l'exemple