Complexes et géométrie/Exercices/Rotation

Exercice 4-1

Au point d'affixe $z$, on associe le point d'affixe $z^{\prime }$ par une rotation $f$ d'angle $\frac{\pi }{2}$ ; on sait que $f(A)=B$ où $A$ et $B$ ont pour affixes respectives $1+\mathrm{i}$ et $-2+2\mathrm{i}$.

Exprimez $z^{\prime }$ en fonction de $z$.

Solution

$z^{\prime }=\mathrm{i}(z-(1+\mathrm{i}))-2+2\mathrm{i}=\mathrm{i}z-1+\mathrm{i}$.

 

Exercice 4-2

Les points $A$ et $B$ ont pour affixes les nombres complexes $a$ et $b$. En utilisant des rotations d'angle $\frac{\pi }{2}$ ou $-\frac{\pi }{2}$, déterminez les affixes des points $C$ et $D$ tels que $ABCD$ soit un carré de sens direct.

Solution

$c=b+\mathrm{i}(b-a)=-\mathrm{i}a+(1+\mathrm{i})b$ et $d=a+\mathrm{i}(b-a)=(1-\mathrm{i})a+\mathrm{i}b$.

 

Exercice 4-3

$A$ et $B$ sont deux points du plan orienté dans le sens usuel et tels que $AB=6\text{cm}$.

On note :

$r_1$ la rotation de centre $A$ et d'angle de mesure $\frac{\pi }{3}$ ;

$r_2$ la rotation de centre $B$ et d'angle de mesure $-\frac{2\pi }{3}$.

Pour tout point $M$ du plan, on note $M_1$ et $M_2$ les images respectives de $M$ par $r_1$ et $r_2$.

1°  $M$ étant un point quelconque, construisez les points $M_1$ et $M_2$.

2°  Le but de cette question est de démontrer que, pour tout point $M$ du plan, le milieu du segment $\left[M_1{M}_2\right]$ est un point fixe $I$.

On pose $f=r_1\circ r_2^{-1}$ où $r_2^{-1}$ désigne la transformation réciproque de $r_2$.

a)  Déterminez $f(M_2)$.

b)  Montrez que $f$ est une symétrie centrale.

c)  Déduisez-en que le milieu de $\left[M_1{M}_2\right]$ est un point fixe $I$, que vous placerez sur la figure.

3°  Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ tel que $A$ et $B$ aient pour affixes respectives $-3$ et $3$. On note $z_1$ et $z_2$ les affixes respectives de $M_1$ et $M_2$.

$M$ est un point du plan, distinct de $A$ et de $B$, d'affixe $z$.

a)  Exprimez $z_1$ et $z_2$ en fonction de $z$.

Montrez que : $\frac{z_2-z}{z_1-z}=\mathrm{i}\sqrt{3}\frac{z-3}{z+3}$.

b)  Déduisez-en que :

(1) $(\overrightarrow{M{M}_1},\overrightarrow{M{M}_2})\equiv (\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})+\frac{\pi }{2}(\mathrm{mod}2\pi )$ ;

(2) $\frac{M{M}_2}{M{M}_1}=\sqrt{3}\frac{MB}{MA}$.

c)  Déterminez à l'aide de l'égalité (1) l'ensemble $\mathrm{\Gamma }$ des points $M$ du plan tels que $M$, $M_1$ et $M_2$ soient alignés.

Construisez $\mathrm{\Gamma }$ sur la figure de la question 1°.

Solution

1°  Pour placer $M_1$, on construit au compas un triangle équilatéral direct $AM{M}_1$. Pour placer $M_2$, on procède de même à partir de $BM$ mais dans le sens indirect et deux fois de suite.

2°  a)  $f(M_2)=M_1$.

b)  $f$ est une rotation d'angle $\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{3}=\pi$.

c)  Son centre $I$ (qui ne dépend pas de $M$) est le milieu de $\left[M_1{M}_2\right]$, d'après a) et b).

3°  a)  $z_1=\frac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}(z+3)-3=\frac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}z+3\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ et

$z_2=\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}(z-3)+3=\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}z+3\frac{3+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$.

$\frac{z_2-z}{z_1-z}=\frac{\frac{-3-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}(z-3)}{\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}(z+3)}=\mathrm{i}\sqrt{3}\frac{z-3}{z+3}$.

b)  Immédiat.

c)  $M\in \mathrm{\Gamma }\iff \overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{MB}$ donc $\mathrm{\Gamma }$ est le cercle de diamètre $[A,B]$.

 

Exercice 4-4

Existe-t-il une rotation qui envoie $A(3,2)$ sur $A^{\prime }(1,2)$ et $B(2,-3)$ sur $B^{\prime }(6,1)$ ? Dans l'affirmative, préciser le centre et l'angle de cette rotation.

Solution

La solution de $a(3+2\mathrm{i})+b=1+2\mathrm{i}$ et $a(2-3\mathrm{i})+b=6+\mathrm{i}$ est $a=\mathrm{i},b=3-\mathrm{i}$.

Puisque $a=\mathrm{i}$, la similitude directe $z\mapsto az+b$ est une rotation d'angle $\frac{\pi }{2}$.

Son centre est son point fixe, d'affixe $\frac{b}{1-a}=\frac{3-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(3-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{2}=\frac{4+2\mathrm{i}}{2}=2+\mathrm{i}$.