Leçons de niveau 13

Complexes et géométrie/Exercices/Détermination de transformations

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Détermination de transformations
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Exercices no3
Leçon : Complexes et géométrie

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Écritures complexes de transformations
Exo suiv. :Rotation
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Complexes et géométrie/Exercices/Détermination de transformations
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Dans chaque cas, donnez l'écriture complexe de la transformation considérée.

 Homothétie de rapport et de centre d'affixe .

 Symétrie centrale de centre d'affixe .

 Rotation d'angle , de centre d'affixe .

 Rotation d'angle de centre d'affixe .

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit la transformation dont l'écriture complexe est .

 Que pouvez-vous dire de  ? Rechercher les éventuels points invariants.

 Soit la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation . Si est un point de coordonnées , quelles sont les coordonnées de  ?

Exprimez l'affixe de en fonction de celle de . Concluez sur la nature de .

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit la transformation dont l'écriture complexe est .

 Prouvez que est un antidéplacement sans points invariants.

 Prouvez que est une translation dont vous préciserez le vecteur .

 Soit . Donnez l'écriture complexe de . Déterminez l'application .

 Déduisez de ce qui précède que est la composée (commutative) d'une réflexion d'axe et d'une translation de vecteur , étant un vecteur directeur de .

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient , , et les points d'affixes respectives :

.

 Déterminer le module et un argument de chacun de ces complexes, et placez alors très précisément les quatre points.

Quelle est la nature du quadrilatère  ?

  et sont les transformations qui, à tout point d'affixe associent respectivement les points d'affixe et d'affixe .

a)  Précisez la nature de et .
b)  On pose . À tout point d'affixe , associe le point d'affixe . Calculez en fonction de .
c)  Placez, sans calculer leurs affixes, les images , , et par des points , , et .

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit la transformation dont l'écriture complexe est

.

 Démontrer que possède un point invariant que vous préciserez.

 Soit l'homothétie de centre et de rapport .

Démontrez qu'il existe une application telle que et caractérisez l'application .

Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient et l'application qui associe, à tout point d'affixe , le point d'affixe , où est un nombre complexe fixé.

 Démontrez qu'il existe deux valeurs et de pour lesquelles est une isométrie.

 Démontrez que est une rotation dont vous préciserez l'angle.

Exercice 3-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient définies par :

et .

On note et les transformation du plan complexe associées.

 Précisez la nature de , , et et donnez leurs éléments caractéristiques.

 En comparant et , déterminez l'application du plan qui transforme en .

Exercice 3-8[modifier | modifier le wikicode]

 Soit la transformation du plan qui, au point de coordonnées , associe le point de coordonnées

Le point a pour affixe et a pour affixe .
Exprimez en fonction de . Précisez la nature de .

 Soit la transformation qui au point d'affixe associe le point d'affixe .

Précisez la nature et les éléments caractéristiques de .

 Soit la transformation .

À tout point d'affixe , associe le point d'affixe .
a)  Exprimez en fonction de , puis et en fonction de et .
b)  Quelle est l'image par du point  ?
c)  Montrez que est une rotation de centre et précisez son angle.