Complexes et géométrie/Exercices/Détermination de transformations

Exercice 3-1

Dans chaque cas, donnez l'écriture complexe de la transformation considérée.

1°  Homothétie de rapport $2$ et de centre d'affixe $1+\mathrm {i}$.

2°  Symétrie centrale de centre d'affixe $5+\mathrm {i}$.

3°  Rotation d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$, de centre d'affixe $\mathrm {i}$.

4°  Rotation d'angle ${\frac {2\pi }{3}}$ de centre d'affixe $-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

Solution

1°  $z'=2\left(z-1-\mathrm {i} \right)+1+\mathrm {i} =2z-1-\mathrm {i}$.

2°  $z'=-\left(z-5-\mathrm {i} \right)+5+\mathrm {i} =-z+10+2\mathrm {i}$.

3°  $z'=-\mathrm {i} \left(z-\mathrm {i} \right)+\mathrm {i} =-\mathrm {i} z-1+\mathrm {i}$.

4°  $z'=\mathrm {j} \left(z-\mathrm {j} \right)+\mathrm {j} =\mathrm {j} z+1+2\mathrm {j} =\left(-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)z+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

 

Exercice 3-2

Soit $f$ la transformation dont l'écriture complexe est $z'=\mathrm {i} {\bar {z}}$.

1°  Que pouvez-vous dire de $f$ ? Rechercher les éventuels points invariants.

2°  Soit $s$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y=x$. Si $M$ est un point de coordonnées $(x,y)$, quelles sont les coordonnées de $s(M)$ ?

Exprimez l'affixe de $s(M)$ en fonction de celle de $M$. Concluez sur la nature de $f$.

Solution

$f=s$.

 

Exercice 3-3

Soit $f$ la transformation dont l'écriture complexe est $z'={\bar {z}}+4$.

1°  Prouvez que $f$ est un antidéplacement sans points invariants.

2°  Prouvez que $f\circ f$ est une translation dont vous préciserez le vecteur ${\vec {v}}$.

3°  Soit $g=t_{-{\frac {1}{2}}{\vec {v}}}\circ f$. Donnez l'écriture complexe de $g$. Déterminez l'application $g$.

4°  Déduisez de ce qui précède que $f$ est la composée (commutative) d'une réflexion d'axe $D$ et d'une translation de vecteur ${\vec {u}}$, ${\vec {u}}$ étant un vecteur directeur de $D$.

Solution

1°  Immédiat.

2°  $\left(f\circ f\right)(z)={\overline {{\bar {z}}+4}}+4=z+8$ donc $f\circ f$ est une translation dont le vecteur a pour affixe $8$.

3°  $g(z)=f(z)-4={\bar {z}}$ donc $g$ est la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $D$ des abscisses.

4°  $f=t_{{\frac {1}{2}}{\vec {v}}}\circ g=g\circ t_{{\frac {1}{2}}{\vec {v}}}$.

 

Exercice 3-4

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives :

$z_{A}={\sqrt {3}}+\mathrm {i} ,\qquad z_{B}=-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}},\qquad z_{C}=-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} \qquad {\text{t}}\qquad z_{D}=1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

1°  Déterminer le module et un argument de chacun de ces complexes, et placez alors très précisément les quatre points.

Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?

2°  $f_{1}$ et $f_{2}$ sont les transformations qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associent respectivement les points $M_{1}$ d'affixe $z_{1}=\mathrm {i} z$ et $M_{2}$ d'affixe $z_{2}=z+2\left(1+\mathrm {i} \right)$.

a)  Précisez la nature de $f_{1}$ et $f_{2}$.

b)  On pose $f=f_{2}\circ f_{1}$. À tout point d'affixe $z$, $f$ associe le point d'affixe $z'$. Calculez $z'$ en fonction de $z$.

c)  Placez, sans calculer leurs affixes, les images $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ par $f$ des points $A$, $B$, $C$ et $D$.

Solution

1°  $z_{A}=2\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{6}}$, $z_{B}=\mathrm {i} z_{A}=2\operatorname {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}$, $z_{C}=-z_{A}=2\operatorname {e} ^{-{\frac {5\mathrm {i} \pi }{6}}}$ et $z_{D}=-\mathrm {i} z_{A}=2\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}}$. $ABCD$ est un carré de centre $O$.

2°  a)  $f_{1}$ est la rotation de centre $O$ et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ ; $f_{2}$ est la translation dont le vecteur a pour affixe $2\left(1+\mathrm {i} \right)$.

b)  $z'=\mathrm {i} z+2\left(1+\mathrm {i} \right)$

c)  $A'B'C'D'$ est le carré translaté par $f_{2}$ de $BCDA$.

 

Exercice 3-5

Soit $S$ la transformation dont l'écriture complexe est

$z'=\left(-3+4\mathrm {i} \right){\bar {z}}+4-10\mathrm {i}$.

1°  Démontrer que $S$ possède un point invariant $\Omega$ que vous préciserez.

2°  Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $5$.

Démontrez qu'il existe une application $\sigma$ telle que $S=h\circ \sigma =\sigma \circ h$ et caractérisez l'application $\sigma$.

Solution

1°  La solution de $\omega =x+\mathrm {i} y=\left(-3+4\mathrm {i} \right)\left(x-\mathrm {i} y\right)+4-10\mathrm {i} =\left(-3x+4y+4\right)+\mathrm {i} \left(4x+3y-10\right)$ est $\omega =2+\mathrm {i}$.

2°  $z'-\omega =\left(-3+4\mathrm {i} \right){\overline {\left(z-\omega \right)}}$ donc $S=h\circ \sigma =\sigma \circ h$ où $\sigma$ a pour écriture complexe $z'-\omega ={\frac {-3+4\mathrm {i} }{5}}{\overline {\left(z-\omega \right)}}$, ou encore : ${\frac {z'-\omega }{1+2\mathrm {i} }}={\overline {\left({\frac {z-\omega }{1+2\mathrm {i} }}\right)}}$. C'est donc la symétrie orthogonale par rapport à la droite passant par $\Omega$ et de pente $2$.

 

Exercice 3-6

Soient $\theta \in \left[0,\pi \right[$ et $f_{\theta }$ l'application qui associe, à tout point d'affixe $z$, le point d'affixe $z'=\left(1+\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \theta }\right){\bar {z}}+c$, où $c$ est un nombre complexe fixé.

1°  Démontrez qu'il existe deux valeurs $\theta _{1}$ et $\theta _{2}$ de $\theta$ pour lesquelles $f_{\theta }$ est une isométrie.

2°  Démontrez que $f_{\theta _{2}}\circ f_{\theta _{1}}$ est une rotation dont vous préciserez l'angle.

Solution

1°  $1+\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \theta }=2\cos \theta \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ est de module $1$ lorsque $\cos \theta =\pm {\frac {1}{2}}$. Les deux solutions sont $\theta _{1}={\frac {\pi }{3}}$ et $\theta _{2}={\frac {2\pi }{3}}$.

2°  L'écriture complexe de $f_{\theta _{2}}\circ f_{\theta _{1}}$ est de la forme $z\mapsto az+b$ avec $a=\left(1+\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \theta _{2}}\right)\left(1+\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \theta _{1}}\right)=-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta _{2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta _{1}}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \left({\frac {2\pi }{3}}-{\frac {\pi }{3}}-\pi \right)}=\operatorname {e} ^{-{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}}$ donc $f_{\theta _{2}}\circ f_{\theta _{1}}$ est une rotation d'angle $-{\frac {2\pi }{3}}$.

 

Exercice 3-7

Soient $f,g:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ définies par :

$f(z)={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z$ et $g(z)=z+1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

On note $F$ et $G$ les transformation du plan complexe associées.

1°  Précisez la nature de $F$, $G$, $F\circ G$ et $G\circ F$ et donnez leurs éléments caractéristiques.

2°  En comparant $(f\circ g)(z)$ et $(g\circ f)(z)$, déterminez l'application du plan qui transforme $(F\circ G)(M)$ en $(G\circ F)(M)$.

Solution

1°  $F$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $-{\frac {\pi }{3}}$.

$G$ est la translation dont le vecteur a pour affixe $1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

$F\circ G$ et $G\circ F$ sont donc des rotations d'angle $-{\frac {\pi }{3}}$.

$\left(f\circ g\right)(z)={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\left(z+1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z+2$ donc le centre de $F\circ G$ a pour affixe ${\frac {2}{1-{\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}}=1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

$\left(g\circ f\right)(z)={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z+1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ donc le centre de $G\circ F$ a pour affixe ${\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{1-{\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}}=2$.

2°  L'application qui transforme $(F\circ G)(M)$ en $(G\circ F)(M)$ est la translation dont le vecteur a pour affixe $1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}-2=-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

 

Exercice 3-8

1°  Soit $T$ la transformation du plan qui, au point $M$ de coordonnées $(x,y)$, associe le point $M'$ de coordonnées

${\begin{cases}x'=x+1\\y'=y+{\sqrt {3}}.\end{cases}}$

Le point $M$ a pour affixe $z=x+\mathrm {i} y$ et $M'$ a pour affixe $z'=x'+\mathrm {i} y'$.

Exprimez $z'$ en fonction de $z$. Précisez la nature de $T$.

2°  Soit $S$ la transformation qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M_{1}$ d'affixe $z_{1}={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z$.

Précisez la nature et les éléments caractéristiques de $S$.

3°  Soit $f$ la transformation $S\circ T$.

À tout point $M$ d'affixe $z=x+\mathrm {i} y$, $f$ associe le point $M_{2}$ d'affixe $z_{2}=x_{2}+\mathrm {i} y_{2}$.

a)  Exprimez $z_{2}$ en fonction de $z$, puis $x_{2}$ et $y_{2}$ en fonction de $x$ et $y$.

b)  Quelle est l'image par $f$ du point $C\left(-1,-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)$ ?

c)  Montrez que $f$ est une rotation de centre $C$ et précisez son angle.

Solution

1°  $z'=x+1+\mathrm {i} \left(y+{\sqrt {3}}\right)=z+1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ donc $T$ est la translation dont le vecteur a pour affixe $1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

2°  $S$ est la rotation de centre $O$ et d'angle ${\frac {2\pi }{3}}$.

3°  a)  $z_{2}={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\left(z+1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z-2$ donc $x_{2}={\frac {-x-y{\sqrt {3}}}{2}}-2$ et $y_{2}={\frac {-y+x{\sqrt {3}}}{2}}$.

b)  ${\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\left(-1-{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}\right)-2=-1-{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}$ donc $f(C)=C$.

c)  D'après 2°, $f$ est une rotation d'angle ${\frac {2\pi }{3}}$. D'après la question précédente, son centre est $C$.