Leçons de niveau 13

Complexes et géométrie/Exercices/Écritures complexes de transformations

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Écritures complexes de transformations
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Exercices no2
Leçon : Complexes et géométrie

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Nombres complexes et géométrie
Exo suiv. :Détermination de transformations
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Complexes et géométrie/Exercices/Écritures complexes de transformations
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

est un carré de sens direct, .

est la rotation de centre , d'angle .

est la translation de vecteur .

est la symétrie de centre .

 Déterminez la nature et les éléments caractéristiques des transformations , , .

 a)  Donner les écritures complexes de et dans un repère orthonormal que vous préciserez.

b)  Quels sont les points tels que  ?

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

 Soit la transformation qui à un point d'affixe associe le point d'affixe . Prouvez que est une symétrie centrale et précisez son centre.

 Soit la rotation de centre et d'angle .

Déterminez la nature et les éléments caractéristiques des transformations et .

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit un repère orthonormal direct du plan complexe.

 Donnez l'écriture complexe de , symétrie axiale d'axe la droite d'équation .

 Quelles sont les écriture complexe de , symétrie axiale d'axe la droite de repère et de , symétrie axiale d'axe la droite de repère  ?

 Déterminez, grâce à ces écritures complexes, les applications , et .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

 Soit la transformation du plan qui, au point d'affixe , associe le point d'affixe .

a)  Montrez que admet un unique point invariant . On notera son affixe.
b)  Montrer que , équivaut à .
c)  Montrer que, pour tout distinct de , équivaut à .
En déduire la nature de .

 Soit la transformation qui au point associe le point d'affixe . Quelle est la nature de  ?

 Déterminez l'écriture complexe de la transformation puis préciser sa nature.

 Précisez la nature de .

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient , et les points d'affixes respectives , et . On note :

la rotation de centre et d'angle  ;
la rotation de centre et d'angle  ;
la rotation de centre et d'angle .

 Donnez les écritures complexes de ces trois rotations.

 Déduisez-en l'écriture complexe de , puis la nature précise de .

 Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de .

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit la transformation dont l'écriture complexe est :

.

 Soit la réflexion par rapport à l'axe des abscisses. Prouvez que est une rotation dont vous préciserez le centre et l’angle.

 Déduisez-en que est une réflexion et précisez son axe.

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

On désigne par l'application du plan dans lui-même qui au point associe le point de coordonnées :

 On note l’affixe de et celle du point . Exprimez en fonction de .

 a)  Montrer que a un unique point fixe et déterminer son affixe.

b)  Quelle est la nature de  ? Préciser.

 Soit l’homothétie de centre et de rapport . Préciser la nature de .

 Soient le point d'affixe et celui d'affixe .

a)  Déterminer l'affixe du point et celle du point tel que .
b)  Déterminer les réels et tels que soit le barycentre du système pondéré .

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient définies par :

 Vérifiez que .

 Caractérisez géométriquement les transformations du plan représentées par .