Complexes et géométrie/Devoir/Un problème de géométrie

Soient $A,B,D$ les points d'affixes respectives :

• $z_{A}=1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ ;
• $z_{B}=1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ ;
• $z_{D}=2\mathrm {i}$.

1°  Calculer l'affixe du point $C$ image de $D$ par la rotation de centre $O$ (d'affixe $z_{O}=0$) et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$.

2°  Représenter les points dans le plan complexe dont un repère orthonormé direct est $(O,{\vec {u}},{\vec {v}})$. Faire le dessin.

3°  Soit le triangle $(ABC)$.

a)  Calculer l'angle défini par le couple de vecteurs $({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}})$.

b)  Déterminer la nature du triangle $(ABC)$.

c)  Déterminer le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ circonscrit au triangle.

4. Soit $r$ la rotation de centre $B$ et d'angle ${\frac {\pi }{3}}$.

a)  Quelles sont les images $A',B',C'$ des points $A,B,C$ par $r$ ?

b)  Quelle est l’image directe de $\Gamma$ par $r$ ?

c)  Déterminer l'image réciproque de $\Gamma$ par $r$.

Corrigé

1°  On a $z_{C}=\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{2}}z_{D}=\mathrm {i} \times 2\mathrm {i} =-2$.

2°  (En attente de graphique)

3° :a)  ${\frac {z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}}={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}+2}{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}+2}}={\frac {(3-\mathrm {i} {\sqrt {3}})^{2}}{(3+\mathrm {i} {\sqrt {3}})(3-\mathrm {i} {\sqrt {3}})}}={\frac {6-6\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{12}}={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}}$,

c'est-à-dire que l'angle défini par le couple de vecteurs $({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}})$ est $-{\frac {\pi }{3}}$ et que $CA=CB$.

b)  Le triangle est donc équilatéral.

c)  Par conséquent, le centre de son cercle circonscrit est son centre de gravité $G$ (on rappelle que les droites remarquables (médianes, médiatrices…) sont confondues).

L'affixe de $G$ est ${\frac {z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}}={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}+1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}-2}{3}}=0$ donc $G=O$.

Le rayon du cercle circonscrit est $OC=|z_{C}|=2$.

4°  a)  $r$ fixe son centre $B$ et (d'après les questions 3.a et 3.b) envoie $A$ sur $C$, donc $z_{B'}=z_{B}$ et $z_{A'}=z_{C}$.

${\begin{aligned}z_{C'}&=\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}(z_{C}-z_{B})+z_{B}\\&={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}(-2-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})+1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\\&=-3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}+1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\\&=-2-2\mathrm {i} {\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

On peut remarquer que l’image $(A'B'C')=(CBC')$ du triangle équilatéral $(ABC)$ par la rotation $r$ reste un triangle équilatéral.

b)  L'image d’un cercle par une rotation est un cercle de même rayon. L’image de $\Gamma$ par la rotation $r$ est donc le cercle de rayon $2$ et de centre le point d'affixe

$\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}(z_{O}-z_{B})+z_{B}=\dots$, ou plus simplement : ${\frac {z_{A'}+z_{B'}+z_{C'}}{3}}={\frac {-2+1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}-2-2\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{3}}=-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

c)  L’image réciproque de $\Gamma$ par $r$ est égale à son image directe par $r^{-1}$, c'est-à-dire le cercle de rayon $2$ et de centre le point d'affixe

$\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}}(z_{O}-z_{B})+z_{B}=\left({\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}-1\right)(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})={\frac {\left(-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)\left(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}{2}}=2$.