Complexes et géométrie/Devoir/Étude d'une transformation

Soit $f:\mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*}$ définie par :

$f(z)={\frac {1}{\bar {z}}}$.

Dans le plan complexe $P$, on associe à tout complexe $z$ le point $M$ d'affixe $z$. Le point d'affixe $0$ est noté $O$.

On note $M'$ le point d'affixe $z'=f(z)$. À la fonction $f:z\mapsto z'$, on associe alors la fonction $F:P^{*}\to P^{*},\,M(z)\mapsto M'(z')$, où $P^{*}$ désigne le plan privé de $O$.

1°  Sans calcul de coordonnées, en n'utilisant que les résultats connus sur les inverses et les conjugués :

a)  montrer que l'axe réel (privé de $O$) est globalement invariant par $F$, c'est-à-dire que $F$ transforme tout point de cet axe en un point de cet axe ;

b)  déterminer l'ensemble des points invariants par $F$ ;

c)  montrer que $z$ et $z'$ ont mêmes arguments, puis en déduire que $O$, $M$ et $M'$ sont alignés et que toute droite qui passe par $O$ est (privée de $O$) globalement invariante par $F$ ;

d)  montrer que $OM\times OM'=1$ et en déduire que l'image par $F$ d'un cercle de centre $O$ est un cercle de centre $O$ ;

e)  vérifier que $F$ est une involution (c'est-à-dire $F\circ F=\mathrm {Id} _{P^{*}}$).

2°  Soit $C$ un cercle de rayon $r$, centré en un point $\Omega$ d'affixe $\omega$.

a)  Démontrer que (si $z'=f(z)$)

$|z'|^{2}|z-\omega |^{2}=1-2\operatorname {Re} (z'{\bar {\omega }})+|z'|^{2}|\omega |^{2}$

et en déduire que $F(C)$ est l'ensemble des points dont l'affixe $z'$ vérifie :

$\lambda |z'|^{2}+2\operatorname {Re} (z'{\bar {\omega }})=1$, où $\lambda$ désigne le réel $r^{2}-|\omega |^{2}$.

b)  En déduire que si $O\in C$ alors $F(C)$ est la médiatrice de $[O\Omega ']$, où $\Omega '$ est le point $F(\Omega )$.

c)  En déduire, en utilisant 1° e), que l'image d'une droite qui ne passe pas par $O$ est un cercle passant par $O$, dont on précisera géométriquement le centre.

d)  Déduire également de a) que si $O\notin C$ alors $F(C)$ est un cercle — ne passant pas par $O$, d'après b) et 1° e) — dont on calculera l'affixe du centre et le rayon.

Corrigé

1°  a)  $\forall x\in \mathbb {R} ^{*}\quad f(x)={\frac {1}{x}}\in \mathbb {R} ^{*}$.

b)  L'ensemble des points invariants par $F$ est le cercle unité.

c)  $\arg z'=-\arg {\bar {z}}=\arg z$ donc $M'\in (OM)$. Donc toute droite qui passe par $O$ est (privée de $O$) globalement invariante par $F$.

d)  $OM\times OM'=|zz'|={\frac {|z|}{|{\bar {z}}|}}=1$ donc l'image par $F$ du cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est le cercle de centre $O$ et de rayon ${\frac {1}{r}}$.

e)  Si $z'{\bar {z}}=1$ alors $z{\overline {z'}}=1$. Donc si $M'=F(M)$ alors $M=F(M')$.

2°  a)  $|z'|^{2}|z-\omega |^{2}=|z'({\overline {z-\omega }})|^{2}=|1-z'{\bar {\omega }}|^{2}=1-2\operatorname {Re} (z'{\bar {\omega }})+|z'|^{2}|\omega |^{2}$. La caractérisation de $F(C)$ s'ensuit.

b)  Si $O\in C$, c'est-à-dire si $\lambda =0$ alors, en notant $\Omega '=F(\Omega )\in (O\Omega )$, $I$ le milieu de $[O\Omega ']$ et $z_{0}={\frac {1}{2{\overline {\omega }}}}$ son affixe :

$M'\in F(C)\Leftrightarrow \operatorname {Re} (z'{\bar {\omega }})={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow \operatorname {Re} \left(\left(z'-z_{0}\right){\bar {\omega }}\right)=0\Leftrightarrow {\overrightarrow {IM'}}\perp {\overrightarrow {O\Omega }}\Leftrightarrow {\overrightarrow {IM'}}\perp {\overrightarrow {O\Omega '}}$.

$F(C)$ est donc la médiatrice de $[O\Omega ']$.

c)  Soit $D$ une droite ne passant pas par $O$. Soit $\Omega '$ le symétrique de $O$ par rapport à $D$. D'après b) et 1° e), $F(D)$ est le cercle passant par $O$ et de centre $F(\Omega ')$.

d)  Si $O\notin C$ alors $\lambda \neq 0$ et

$M'\in F(C)\Leftrightarrow |z'|^{2}+2\operatorname {Re} \left(z'{\frac {\bar {\omega }}{\lambda }}\right)={\frac {1}{\lambda }}\Leftrightarrow \left|z'+{\frac {\bar {\omega }}{\lambda }}\right|^{2}={\frac {1}{\lambda }}+{\frac {|\omega |^{2}}{\lambda ^{2}}}$.

$F(C)$ est donc le cercle dont le centre a pour affixe $-{\frac {\bar {\omega }}{\lambda }}$ et dont le rayon est égal à ${\sqrt {{\frac {1}{\lambda }}+{\frac {|\omega |^{2}}{\lambda ^{2}}}}}={\frac {r}{|\lambda |}}$.

 

Note : $F$ est appelée l'inversion de pôle $O$ et de puissance $1$. De manière générale, l'inversion de pôle un point $O$ et de puissance $k$, fait correspondre, à chaque point $M$ distinct de $O$, le point $M'$ de la droite $(OM)$ tel que : ${\overrightarrow {OM}}.{\overrightarrow {OM'}}=k$. Voir aussi : Arnaud Bodin, « L'inversion », sur Université Lille-I, 2012 Arnaud Bodin, « Exercices – L'inversion », sur Université Lille-I, 2012