Leçons de niveau 13

Complexes et géométrie/Devoir/Étude d'une transformation

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Étude d'une transformation
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Devoir no1
Leçon : Complexes et géométrie

Devoir de niveau 13.

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Complexes et géométrie/Devoir/Étude d'une transformation
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Soit définie par :

.

Dans le plan complexe , on associe à tout complexe le point d'affixe . Le point d'affixe est noté .

On note le point d'affixe . À la fonction , on associe alors la fonction , où désigne le plan privé de .

 Sans calcul de coordonnées, en n'utilisant que les résultats connus sur les inverses et les conjugués :

a)  montrer que l'axe réel (privé de ) est globalement invariant par , c'est-à-dire que transforme tout point de cet axe en un point de cet axe ;
b)  déterminer l'ensemble des points invariants par  ;
c)  montrer que et ont mêmes arguments, puis en déduire que , et sont alignés et que toute droite qui passe par est (privée de ) globalement invariante par  ;
d)  montrer que et en déduire que l'image par d'un cercle de centre est un cercle de centre  ;
e)  vérifier que est une involution (c'est-à-dire ).

 Soit un cercle de rayon , centré en un point d'affixe .

a)  Démontrer que (si )
et en déduire que est l'ensemble des points dont l'affixe vérifie :
, où désigne le réel .
b)  En déduire que si alors est la médiatrice de , où est le point .
c)  En déduire, en utilisant 1° e), que l'image d'une droite qui ne passe pas par est un cercle passant par , dont on précisera géométriquement le centre.
d)  Déduire également de a) que si alors est un cercle — ne passant pas par , d'après b) et 1° e) — dont on calculera l'affixe du centre et le rayon.

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Note : est appelée l'inversion de pôle et de puissance .

Wikipédia possède un article à propos de « Inversion ».

De manière générale, l'inversion de pôle un point et de puissance , fait correspondre, à chaque point distinct de , le point de la droite tel que :

.

Voir aussi :