Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss
Identité de Bézout
[modifier | modifier le wikicode]L'identité de Bézout est aussi appelée Petit théorème de Bézout.
Soient a et b deux entiers non tous deux nuls et d leur PGCD. Alors, il existe deux entiers u et v tels que au + bv = d.
L'ensemble des entiers strictement positifs de la forme au + bv (avec u et v entiers) est non vide (il contient |a| ou |b|) donc possède un plus petit élément d0 = au0 + bv0. Il suffit alors de montrer que d0 = d.
La division euclidienne de a par d0 s'écrit a = d0q + r avec 0 ≤ r < d0. L'entier naturel r = a – d0q = a(1 – u0q) + b(–v0q) est strictement inférieur à d0, donc nul par définition de d0, si bien que a est multiple de d0. De même, d0 divise b. C’est donc un diviseur commun à a et b.
Enfin, c’est le plus grand, au sens de l’ordre usuel et même au sens de la divisibilité, c'est-à-dire qu’il est multiple de tout entier divisant a et b, puisqu’un tel entier divise aussi au0 + bv0.
Théorème de Bézout
[modifier | modifier le wikicode]Deux entiers a et b sont premiers entre eux si, et seulement s'il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.
.
Ce théorème est un cas particulier de l'identité de Bézout.
Démontrer que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux.
On note et ces entiers.
On a : .
Il existe donc une relation , donc et sont premiers entre eux.
Soient a, b et c trois entiers. Si a divise le produit bc et s'il est premier avec b, alors il divise c.
.
Question du BAC 2006 : Démontrez le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
On a avec .
De plus, avec
D'où .
Soient a, b et c trois entiers. Si a est premier avec b et c alors il est premier avec le produit bc.
Soit . Alors est, comme , premier avec . D'après le théorème de Gauss, il divise donc . Puisque divise aussi (premier avec ), il est donc égal à 1. On a donc bien montré que .
Alternativement, on peut utiliser l'identité de Bézout : si au + bv = 1 et au' + cv' = 1 alors a(auu' + ucv' + bvu') + bcvv' =1.
Soient a et b deux entiers. Si a est premier avec b alors am est premier avec bn, pour tous entiers naturels m et n.