Leçons de niveau 13

Arithmétique/Exercices/Théorème de Gauss

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Théorème de Gauss
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Exercices no5
Leçon : Arithmétique
Chapitre du cours : Théorèmes de Bézout et Gauss

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :PPCM et PGCD
Exo suiv. :Théorème de Bézout
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Arithmétique/Exercices/Théorème de Gauss
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Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

a est le nombre a = n(n2 + 5), n étant un entier naturel.

  1. Démontrer que a est divisible par 2.
  2. Démontrer que a est divisible par 3.
  3. Que pouvez-vous déduire des deux questions précédentes ?

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

n est un entier relatif. Prouvez que n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par 6.

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

n est un entier relatif. Prouvez que :

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24 ;

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120.

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Démontrer que le produit de trois entiers consécutifs est un multiple de 6.
  2. Soient n un entier naturel et x l'entier : x = n(n + 1)(n + 2)(n + 3). Écrivez à l'aide de x et déduisez-en que x est un multiple de 4!.
  3. Soient n et p des entiers strictement positifs. Démontrer que y = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)…(n + p – 1) est un multiple de p!.

Exercice 5-5[modifier | modifier le wikicode]

a et b sont des entiers naturels.

  1. Montrer que a5a est divisible par 10.
  2. Démontrer que si a5b5 est divisible par 10, alors a2b2 est divisible par 20.

Exercice 5-6[modifier | modifier le wikicode]

n est un entier naturel.

Prouvez que n2(n2 – 1)(n2 + 1) est divisible par 60.

Exercice 5-7[modifier | modifier le wikicode]

n et p sont des entiers strictement positifs. Démontrer que :

n(n4 – 1) est divisible par 30 ;

l'écriture décimale de np et np+4 se termine à droite par le même chiffre.

Exercice 5-8[modifier | modifier le wikicode]

a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux tels que b > 1. On note b1 < b2 < … < bn les entiers naturels inférieurs à b et premiers avec b.

  1. Démontrer que les éléments de l'ensemble E = {b1a, b2a, b3a, … , bna} sont premiers avec b.
  2. Démontrer qu'en divisant par b deux éléments quelconques de l'ensemble E, on obtient des restes différents et premiers avec b. Quel est alors l'ensemble des restes ?