Leçons de niveau 13

Arithmétique/Devoir/Nombres premiers d'une suite

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Nombres premiers d'une suite
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Devoir no2
Leçon : Arithmétique

Ce devoir est de niveau 13.

Dev préc. :Nombres polymonadiques
Dev suiv. :Sommaire
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Arithmétique/Devoir/Nombres premiers d'une suite
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Inspiré de la solution par Lemaire (Douai) au problème no 74 de Ehrhart (Strasbourg), Bulletin de l'APMEP, no 328, avril 1981, p. 335-337.

est la suite définie par :

Le but du problème est de chercher tous les nombres premiers de cette suite.


 Soit la suite définie pour tout par .

a)  Calculer les premières valeurs des suites et , jusqu'à .
Quels nombres premiers remarquez-vous déjà parmi les calculés ?
b)  La suite est célèbre. La reconnaissez-vous ?
c)  Démontrer par récurrence (pour tout entier ) :
.

 a)  Déduire des relations (1) et (2) la relation (pour tout entier ) :

.
b)  Calculer, en fonction de , les deux racines de l'équation , et déduire de la question précédente que
.
c)  En déduire que si est premier, il divise ou .

 a)  Montrer que pour tout  :

.
b)  Démontrer en utilisant (3) que pour tout tel que  :
c)  Quels sont les seuls termes premiers de la suite  ?