Arithmétique/Devoir/Nombres premiers d'une suite

Inspiré de la solution par Lemaire (Douai) au problème n^o 74 de Ehrhart (Strasbourg), Bulletin de l'APMEP, n^o 328, avril 1981, p. 335-337.

$(u_{n})$ est la suite définie par :

${\begin{cases}u_{1}=u_{2}=0\\u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}+1\quad (1)\qquad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}.\end{cases}}$

Le but du problème est de chercher tous les nombres premiers de cette suite.

1°  Soit $F_{n}$ la suite définie pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ par $F_{n}=u_{n}+1$.

a)  Calculer les premières valeurs des suites $(F_{n})$ et $(u_{n})$, jusqu'à $n=6$.

Quels nombres premiers remarquez-vous déjà parmi les $u_{n}$ calculés ?

b)  La suite $(F_{n})$ est célèbre. La reconnaissez-vous ?

c)  Démontrer par récurrence (pour tout entier $n\geqslant 2$) :

$F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}\qquad (2)$.

2°  a)  Déduire des relations (1) et (2) la relation (pour tout entier $n\geqslant 2$) :

$5u_{n+1}u_{n-1}=(u_{n+1}+u_{n-1})^{2}-(u_{n+1}+u_{n-1})+(-1)^{n}-1$.

b)  Calculer, en fonction de $n$, les deux racines $a_{n}<b_{n}$ de l'équation $X^{2}-X+(-1)^{n}-1=0$, et déduire de la question précédente que

$5u_{n+1}u_{n-1}=(u_{n+1}+u_{n-1}-a_{n})(u_{n+1}+u_{n-1}-b_{n})\qquad (3)$.

c)  En déduire que si $u_{n-1}$ est premier, il divise $u_{n+1}-a_{n}$ ou $u_{n+1}-b_{n}$.

3°  a)  Montrer que pour tout $n\geqslant 8$ :

$1<{\frac {u_{n+1}-b_{n}}{u_{n-1}}}<{\frac {u_{n+1}-a_{n}}{u_{n-1}}}<3$.

b)  Démontrer en utilisant (3) que pour tout $n$ tel que $u_{n-1}\neq 0$ :

$u_{n-1}={\begin{cases}-3a_{n}-2b_{n}&{\text{si }}u_{n+1}-b_{n}=2u_{n-1}\\-3b_{n}-2a_{n}&{\text{si }}u_{n+1}-a_{n}=2u_{n-1}{\text{.}}\end{cases}}$

c)  Quels sont les seuls termes premiers de la suite $(u_{n})$ ?

Corrigé

1°  a)  Pour $n$ de $1$ à $6$, les valeurs de $u_{n}$ sont $0,0,1,2,4,7$ et celles de $F_{n}$ sont $1,1,2,3,5,8$. Les nombres $u_{4}=2$ et $u_{6}=7$ sont premiers.

b)  C'est la suite de Fibonacci, puisqu'elle vérifie $F_{1}=F_{2}=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$.

:c) C'est l'identité de Cassini :

Faites ces exercices : Identités remarquables pour les récurrences linéaires d'ordre 2.

2°  a)  D'après (1) et (2),

${\begin{aligned}(-1)^{n}&=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}\\&=\left(u_{n+1}+1\right)\left(u_{n-1}+1\right)-\left(u_{n}+1\right)^{2}\\&=\left(u_{n+1}+1\right)\left(u_{n-1}+1\right)-\left(u_{n+1}-u_{n-1}\right)^{2}\end{aligned}}$

ce qui, en développant, équivaut à la relation souhaitée.

b)  $(a_{n},b_{n})={\begin{cases}(0,1)&{\text{si }}n{\text{ est pair}}\\(-1,2)&{\text{si }}n{\text{ est impair}}\end{cases}}$

et (3) est immédiat.

c)  D'après (3), $u_{n-1}$ divise $(u_{n+1}-a_{n})(u_{n+1}-b_{n})$.

3°  a)  $b_{n}>a_{n}$ et la suite $(u_{n})$ est positive et croissante. De plus :

• pour tout $n\geq 4$, $u_{n+1}-b_{n}\geq u_{n+1}-2=u_{n}+u_{n-1}-1>u_{n-1}>0$ ;
• pour tout $n\geq 8$, $u_{n+1}-a_{n}\leq u_{n+1}+1=2u_{n-1}+u_{n-2}+3<3u_{n-1}$ car $u_{n-1}=u_{n-2}+u_{n-3}+1>u_{n-2}+3$.

b)  Immédiat.

c)  Les deux seuls termes premiers de la suite sont ceux de la question 1° a) ($u_{4}=2$ et $u_{6}=7$).

En effet, pour tout $n\geq 8$, $u_{n-1}$ ne peut pas être premier car sinon, on déduirait des questions précédentes que $3a_{n}+2b_{n}<0$ (donc $n$ impair) puis, que $u_{n-1}=1$, ce qui est absurde car $1$ n'est pas premier.