Arithmétique/Devoir/Nombres polymonadiques

Un nombre polymonadique est un nombre qui ne s'écrit qu'avec des 1, comme 1, 11, 111, 1111, 11111, etc.

Une définition équivalente est de dire qu'un nombre polymonadique est un nombre de la forme ${\frac {10^{n}-1}{9}}$, avec n entier naturel, n ⩾ 1, le nombre n indiquant le nombre de chiffres 1 pour écrire ce nombre dans le système décimal.

On pose :

$e_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}$.

On s'intéresse au problème suivant : existe-t-il des nombres polymonadiques premiers ?

1°  Démontrer que lorsque n est pair, e_n est divisible par 11.

2°  Démontrer que lorsque m divise n, e_m divise e_n.

Aide : vous pouvez utiliser l'expression d'une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison b ≠ 1 :

$\sum _{i=0}^{r-1}b^{i}={\frac {b^{r}-1}{b-1}}$.

3°  Déduisez-en que si e_n est premier, alors n est premier. Montrer que la réciproque est fausse en examinant le cas de e₃.

4°  a)  À l'aide de l'identité pour m ⩾ n :

$b^{m}-1=b^{m-n}\left(b^{n}-1\right)+b^{m-n}-1$,

démontrer que les diviseurs communs à e_m et e_n sont les diviseurs communs à e_{m – n} et e_n.

b)  En déduire que $\operatorname {pgcd} (e_{m},e_{n})=e_{\operatorname {pgcd} (m,n)}$ (en particulier, si m et n sont premiers entre eux, alors e_m et e_n sont premiers entre eux).

Corrigé

1°  Modulo 11, $9e_{2k}=\left(10^{2}\right)^{k}-1\equiv 1^{k}-1=0$ donc 11 divise $9e_{2k}$. D'après le théorème de Gauss, il divise donc $e_{2k}$.

On peut aussi le déduire de la question suivante (cas m = 2).

2°  ${\frac {e_{mr}}{e_{m}}}={\frac {10^{mr}-1}{10^{m}-1}}=\sum _{i=0}^{r-1}\left(10^{m}\right)^{i}\in \mathbb {N}$ donc e_m divise e_mr. On peut aussi le déduire de la question 4, puisque $a\mid b\Leftrightarrow \operatorname {pgcd} (a,b)=a$.

3°  On en déduit que si n n'est pas premier alors e_n non plus (car si 1 < m < n alors 1 < e_m < e_n). Par contraposition, si e_n est premier alors n est premier.

La réciproque est fausse : 3 est premier mais e₃ = 111 = 3 × 37.

4°  a)  $e_{m}=10^{m-n}e_{n}+e_{m-n}$.

b)  Raisonner par anthyphérèse.