Leçons de niveau 13

Arithmétique/Devoir/Nombres polymonadiques

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Nombres polymonadiques
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Devoir no1
Leçon : Arithmétique

Devoir de niveau 13.

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Un nombre polymonadique est un nombre qui ne s'écrit qu'avec des 1, comme 1, 11, 111, 1111, 11111, etc.

Une définition équivalente est de dire qu'un nombre polymonadique est un nombre de la forme , avec n entier naturel, n ⩾ 1, le nombre n indiquant le nombre de chiffres 1 pour écrire ce nombre dans le système décimal.

On pose :

.

On s'intéresse au problème suivant : existe-t-il des nombres polymonadiques premiers ?


 Démontrer que lorsque n est pair, en est divisible par 11.

 Démontrer que lorsque m divise n, em divise en.

Aide : vous pouvez utiliser l'expression d'une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison b ≠ 1 :
.

 Déduisez-en que si en est premier, alors n est premier. Montrer que la réciproque est fausse en examinant le cas de e3.

 a)  À l'aide de l'identité pour mn :

,
démontrer que les diviseurs communs à em et en sont les diviseurs communs à em – n et en.
b)  En déduire que (en particulier, si m et n sont premiers entre eux, alors em et en sont premiers entre eux).