Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes homographiques

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Suites récurrentes homographiques
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Chapitre no 13
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Cycles et chaos
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Suite récurrente homographique réelle[modifier | modifier le wikicode]

On considère une suite définie par une relation de récurrence :

où a, b, c et d sont des nombres réels.

On notera

Changement de variable pour rendre la suite géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Passage en coordonnées projectives[modifier | modifier le wikicode]

On appelle droite projective l’ensemble quotient du plan muni d'un repère par la relation d'équivalence :

ssi

L'application linéaire F du plan dans lui-même définie par

induit alors une application de la droite projective dans elle-même

dont la restriction à n'est autre que la fonction f car en posant :

on a :

De plus on constate que les vecteurs propres de F correspondent aux points fixes de f car :

ssi

Cas où F est diagonalisable[modifier | modifier le wikicode]

Dans le repère de départ, F a pour matrice :

si F est diagonalisable de valeurs propres et , on a :

  • P est la matrice de passage de l'ancienne base à celle des vecteurs propres (ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres dans l'ancienne base).

U est le vecteur colonne des coordonnées dans l'ancienne base. V est le vecteur colonne des coordonnées dans la base des vecteurs propres.

Notons :

alors

et par passage au quotient projectif :

.

Retour à la suite récurrente[modifier | modifier le wikicode]

En adoptant les mêmes notations,

la suite est donc géométrique de raison

On peut donc en conclure que si :

en posant :

on obtient une suite géométrique .

Avec les points fixes[modifier | modifier le wikicode]

De plus en choisissant le premier vecteur propre de seconde coordonnée 1, et le second vecteur propre de seconde coordonnée -1, on aura :

et sont les points fixes de f.

et donc :

donc en particulier si l’on pose :

on obtient une suite géométrique .