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Approfondissement sur les suites numériques : Suites récurrentes homographiques
Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes homographiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère une suite définie par une relation de récurrence :

où a, b, c et d sont des nombres réels.
On notera

On appelle droite projective l’ensemble quotient du plan muni d'un repère par la relation d'équivalence :
ssi
L'application linéaire F du plan dans lui-même définie par
induit alors une application de la droite projective dans elle-même
dont la restriction à
n'est autre que la fonction f car en posant :

on a :

De plus on constate que les vecteurs propres de F correspondent aux points fixes de f car :

ssi

Dans le repère de départ, F a pour matrice :
si F est diagonalisable de valeurs propres
et
, on a :


où
- P est la matrice de passage de l'ancienne base à celle des vecteurs propres (ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres dans l'ancienne base).
- U est le vecteur colonne des coordonnées dans l'ancienne base.
- V est le vecteur colonne des coordonnées dans la base des vecteurs propres.
Notons :

alors

et par passage au quotient projectif :
.
En adoptant les mêmes notations,

la suite
est donc géométrique de raison
On peut donc en conclure que si :

en posant :

on obtient une suite géométrique
.
De plus, en choisissant le premier vecteur propre de seconde coordonnée 1 et le second vecteur propre de seconde coordonnée -1, on aura :
où
et
sont les points fixes de f.
et donc :
donc en particulier si l’on pose :

on obtient une suite géométrique
.