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Approfondissement sur les suites numériques : Suites récurrentes homographiques Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes homographiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère une suite définie par une relation de récurrence :
u
n
+
1
=
a
u
n
+
b
c
u
n
+
d
{\displaystyle u_{n+1}={\frac {au_{n}+b}{cu_{n}+d}}}
où a, b, c et d sont des nombres réels.
On notera
f
(
t
)
=
a
t
+
b
c
t
+
d
{\displaystyle f(t)={\frac {at+b}{ct+d}}}
Changement de variable pour se ramener à une suite géométrique [ modifier | modifier le wikicode ]
On appelle droite projective l’ensemble quotient du plan muni d'un repère par la relation d'équivalence :
(
x
2
;
y
2
)
∼
(
x
1
;
y
1
)
{\displaystyle (x_{2};y_{2})\sim (x_{1};y_{1})}
ssi
∃
λ
∈
R
{\displaystyle \exists \lambda \in \mathbb {R} }
{
x
2
=
λ
x
1
y
2
=
λ
y
1
{\displaystyle {\begin{cases}x_{2}=\lambda \ x_{1}\\y_{2}=\lambda \ y_{1}\end{cases}}}
L'application linéaire F du plan dans lui-même définie par
{
x
′
=
a
x
+
b
y
y
′
=
c
x
+
d
y
{\displaystyle {\begin{cases}x'=ax+by\\y'=cx+dy\end{cases}}}
induit alors une application de la droite projective dans elle-même
dont la restriction à
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
n'est autre que la fonction f car en posant :
t
=
x
y
{\displaystyle t={\frac {x}{y}}}
on a :
f
(
t
)
=
a
t
+
b
c
t
+
d
=
a
x
+
b
y
c
x
+
d
y
=
x
′
y
′
{\displaystyle f(t)={\frac {at+b}{ct+d}}={\frac {ax+by}{cx+dy}}={\frac {x'}{y'}}}
De plus on constate que les vecteurs propres de F correspondent aux points fixes de f car :
F
(
x
;
y
)
=
(
λ
x
;
λ
y
)
{\displaystyle F(x;y)=(\lambda x;\lambda y)}
ssi
f
(
t
)
=
t
=
λ
x
λ
y
{\displaystyle f(t)=t={\frac {\lambda x}{\lambda y}}}
Dans le repère de départ, F a pour matrice :
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
si F est diagonalisable de valeurs propres
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}}
et
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2}}
, on a :
U
=
P
V
{\displaystyle U=PV}
A
=
P
Δ
P
−
1
{\displaystyle A=P\Delta \ P^{-1}}
où
P est la matrice de passage de l'ancienne base à celle des vecteurs propres (ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres dans l'ancienne base).
U est le vecteur colonne des coordonnées dans l'ancienne base.
V est le vecteur colonne des coordonnées dans la base des vecteurs propres.
Notons :
P
−
1
=
(
α
β
γ
δ
)
{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}
alors
V
′
=
Δ
V
{\displaystyle V'=\Delta \ V}
et par passage au quotient projectif :
v
′
=
λ
1
λ
2
v
{\displaystyle v'={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}v}
.
En adoptant les mêmes notations,
v
n
+
1
=
λ
1
λ
2
v
n
{\displaystyle v_{n+1}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}v_{n}}
la suite
v
n
{\displaystyle v_{n}}
est donc géométrique de raison
λ
1
λ
2
{\displaystyle {\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}
On peut donc en conclure que si :
u
n
+
1
=
a
u
n
+
b
c
u
n
+
d
{\displaystyle u_{n+1}={\frac {au_{n}+b}{cu_{n}+d}}}
en posant :
v
n
=
α
u
n
+
β
γ
u
n
+
δ
{\displaystyle v_{n}={\frac {\alpha u_{n}+\beta }{\gamma u_{n}+\delta }}}
on obtient une suite géométrique
v
n
{\displaystyle v_{n}}
.
De plus en choisissant le premier vecteur propre de seconde coordonnée 1, et le second vecteur propre de seconde coordonnée -1, on aura :
P
=
(
l
1
−
l
2
1
−
1
)
{\displaystyle P={\begin{pmatrix}l_{1}&-l_{2}\\1&-1\end{pmatrix}}}
où
l
1
{\displaystyle l_{1}}
et
l
2
{\displaystyle l_{2}}
sont les points fixes de f.
et donc :
P
−
1
=
1
l
2
−
l
1
(
1
−
l
2
1
−
l
1
)
{\displaystyle P^{-1}={\frac {1}{l_{2}-l_{1}}}{\begin{pmatrix}1&-l_{2}\\1&-l_{1}\end{pmatrix}}}
donc en particulier si l’on pose :
v
n
=
u
n
−
l
2
u
n
−
l
1
{\displaystyle v_{n}={\frac {u_{n}-l_{2}}{u_{n}-l_{1}}}}
on obtient une suite géométrique
v
n
{\displaystyle v_{n}}
.