Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes homographiques

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Suite récurrente homographique réelle

On considère une suite définie par une relation de récurrence :

$u_{n+1}={\frac {au_{n}+b}{cu_{n}+d}}$

où a, b, c et d sont des nombres réels.

On notera

$f(t)={\frac {at+b}{ct+d}}$

Changement de variable pour rendre la suite géométrique

Passage en coordonnées projectives

On appelle droite projective l’ensemble quotient du plan muni d'un repère par la relation d'équivalence :

$(x_{2};y_{2})\sim (x_{1};y_{1})$ ssi $\exists \lambda \in \mathbb {R}$

${\begin{cases}x_{2}=\lambda \ x_{1}\\y_{2}=\lambda \ y_{1}\end{cases}}$

L'application linéaire F du plan dans lui-même définie par

${\begin{cases}x'=ax+by\\y'=cx+dy\end{cases}}$

induit alors une application de la droite projective dans elle-même

dont la restriction à $\mathbb {R}$ n'est autre que la fonction f car en posant :

$t={\frac {x}{y}}$

on a :

$f(t)={\frac {at+b}{ct+d}}={\frac {ax+by}{cx+dy}}={\frac {x'}{y'}}$

De plus on constate que les vecteurs propres de F correspondent aux points fixes de f car :

$F(x;y)=(\lambda x;\lambda y)$

ssi

$f(t)=t={\frac {\lambda x}{\lambda y}}$

Cas où F est diagonalisable

Dans le repère de départ, F a pour matrice :

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

si F est diagonalisable de valeurs propres $\lambda _{1}$ et $\lambda _{2}$, on a :

$U=PV$

$A=P\Delta \ P^{-1}$

où

• P est la matrice de passage de l'ancienne base à celle des vecteurs propres (ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres dans l'ancienne base).

U est le vecteur colonne des coordonnées dans l'ancienne base. V est le vecteur colonne des coordonnées dans la base des vecteurs propres.

Notons :

$P^{-1}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}$

alors

$V'=\Delta \ V$

et par passage au quotient projectif :

$v'={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}v$.

Retour à la suite récurrente

En adoptant les mêmes notations,

$v_{n+1}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}v_{n}$

la suite $v_{n}$ est donc géométrique de raison ${\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}$

On peut donc en conclure que si :

$u_{n+1}={\frac {au_{n}+b}{cu_{n}+d}}$

en posant :

$v_{n}={\frac {\alpha u_{n}+\beta }{\gamma u_{n}+\delta }}$

on obtient une suite géométrique $v_{n}$.

Avec les points fixes

De plus en choisissant le premier vecteur propre de seconde coordonnée 1, et le second vecteur propre de seconde coordonnée -1, on aura :

$P={\begin{pmatrix}l_{1}&-l_{2}\\1&-1\end{pmatrix}}$

où $l_{1}$ et $l_{2}$ sont les points fixes de f.

et donc :

$P^{-1}={\frac {1}{l_{2}-l_{1}}}{\begin{pmatrix}1&-l_{2}\\1&-l_{1}\end{pmatrix}}$

donc en particulier si l’on pose :

$v_{n}={\frac {u_{n}-l_{2}}{u_{n}-l_{1}}}$

on obtient une suite géométrique $v_{n}$.