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Approfondissement sur les suites numériques : Suites récurrentes homographiques
Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes homographiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère une suite définie par une relation de récurrence :
![{\displaystyle u_{n+1}={\frac {au_{n}+b}{cu_{n}+d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8faa5bda78f72fbd2ec2d874b4bbb19183bd757)
où a, b, c et d sont des nombres réels.
On notera
![{\displaystyle f(t)={\frac {at+b}{ct+d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56563e0648c8f83538d44d733037b60ab4864b99)
Changement de variable pour se ramener à une suite géométrique[modifier | modifier le wikicode]
On appelle droite projective l’ensemble quotient du plan muni d'un repère par la relation d'équivalence :
ssi
L'application linéaire F du plan dans lui-même définie par
induit alors une application de la droite projective dans elle-même
dont la restriction à
n'est autre que la fonction f car en posant :
![{\displaystyle t={\frac {x}{y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f8e64d1882f900003f1a11a91ac9da6bb7a375)
on a :
![{\displaystyle f(t)={\frac {at+b}{ct+d}}={\frac {ax+by}{cx+dy}}={\frac {x'}{y'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b289567f9965b072c1ae06247515206c88c75aac)
De plus on constate que les vecteurs propres de F correspondent aux points fixes de f car :
![{\displaystyle F(x;y)=(\lambda x;\lambda y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35450a5104b6ba3554a6392d49b4d0595dc0c5a4)
ssi
![{\displaystyle f(t)=t={\frac {\lambda x}{\lambda y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40e1c482b2ed21431f99dc74ed4add3af980208)
Dans le repère de départ, F a pour matrice :
si F est diagonalisable de valeurs propres
et
, on a :
![{\displaystyle U=PV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c95faa34ca57249e196fa4604f0902692ba7a9)
![{\displaystyle A=P\Delta \ P^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c642d255f551ebb1412c4f4b86001259801b9a36)
où
- P est la matrice de passage de l'ancienne base à celle des vecteurs propres (ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres dans l'ancienne base).
- U est le vecteur colonne des coordonnées dans l'ancienne base.
- V est le vecteur colonne des coordonnées dans la base des vecteurs propres.
Notons :
![{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2965e23eeec36c1ca0ffa3b322e72bd58eb0d301)
alors
![{\displaystyle V'=\Delta \ V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dbd5fc39ea6671c18b6da418606536183b62072)
et par passage au quotient projectif :
.
En adoptant les mêmes notations,
![{\displaystyle v_{n+1}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}v_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc722c8202ce481b0a07ddfa61b1a760eb77332)
la suite
est donc géométrique de raison
On peut donc en conclure que si :
![{\displaystyle u_{n+1}={\frac {au_{n}+b}{cu_{n}+d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8faa5bda78f72fbd2ec2d874b4bbb19183bd757)
en posant :
![{\displaystyle v_{n}={\frac {\alpha u_{n}+\beta }{\gamma u_{n}+\delta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3f71d01402d8c33cea2243bcd3b8823baf4c28)
on obtient une suite géométrique
.
De plus, en choisissant le premier vecteur propre de seconde coordonnée 1 et le second vecteur propre de seconde coordonnée -1, on aura :
où
et
sont les points fixes de f.
et donc :
donc en particulier si l’on pose :
![{\displaystyle v_{n}={\frac {u_{n}-l_{2}}{u_{n}-l_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d9e4d7ddefb0add440de9f5028321e0b65b2e5)
on obtient une suite géométrique
.