Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les calculs algébriques

Exercice 2-1

Mettre sous la forme algébrique les expressions complexes suivantes :

a)   $\left(4-\mathrm {i} \right)^{2}$ ;

b)   $\left(2+3\mathrm {i} \right)^{3}$ ;

c)   $\left(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{3}$ ;

d)   $\left(2+\mathrm {i} \right)\left(3+5\mathrm {i} \right)$ ;

e)   $\left(1+2\mathrm {i} \right)^{2}\left(6-3\mathrm {i} \right)^{3}$.

Solution

a)   $\left(4-\mathrm {i} \right)^{2}=15-8\mathrm {i}$ ;

b)   $\left(2+3\mathrm {i} \right)^{3}=2^{3}-3.2.3^{2}+\mathrm {i} \left(3.2^{2}.3-3^{3}\right)=-46+9\mathrm {i}$ ;

c)   $\left(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{3}=\left(2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}\right)^{3}=-8$ ;

d)   $\left(2+\mathrm {i} \right)\left(3+5\mathrm {i} \right)=2.3-1.5+\mathrm {i} \left(2.5+1.3\right)=1+13\mathrm {i}$ ;

e)   $\left(1+2\mathrm {i} \right)^{2}\left(6-3\mathrm {i} \right)^{3}=\left(1+2\mathrm {i} \right)^{5}\left(-3\mathrm {i} \right)^{3}=27\mathrm {i} \left(1-10.2^{2}+5.2^{4}+\mathrm {i} \left(5.2-10.2^{3}+2^{5}\right)\right)=27\mathrm {i} \left(41-38\mathrm {i} \right)=27\left(38+41\mathrm {i} \right)$.

 

Exercice 2-2

Mettre sous la forme algébrique les expressions complexes suivantes :

a)   ${\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}$ ;

b)   $\left({\frac {1-\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}\right)^{2}$ ;

c)   $\left({\frac {1}{\mathrm {i} }}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\right)^{2}$.

Solution

a)   ${\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}=\mathrm {i}$ ;

b)   $\left({\frac {1-\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}\right)^{2}={\frac {-2\mathrm {i} }{2\mathrm {i} }}=-1$ ;

c)   $\left({\frac {1}{\mathrm {i} }}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\right)^{2}=\left(-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\right)^{2}=-{\frac {1}{4}}$.

 

Exercice 2-3

Mettre sous la forme algébrique les expressions complexes suivantes :

a)   ${\frac {1+\alpha \mathrm {i} }{2\alpha +\left(\alpha ^{2}-1\right)\mathrm {i} }}$ ;

b)   ${\frac {\left(\alpha +\beta \mathrm {i} \right)^{2}}{\alpha +\left(\beta +1\right)\mathrm {i} }}$.

Solution

a)   ${\frac {1+\alpha \mathrm {i} }{2\alpha +\left(\alpha ^{2}-1\right)\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {i} \left(\alpha -\mathrm {i} \right)}{\mathrm {i} \left(\alpha -\mathrm {i} \right)^{2}}}={\frac {1}{\alpha -\mathrm {i} }}={\frac {\alpha +\mathrm {i} }{\alpha ^{2}+1}}$ ;

b)   ${\frac {\left(\alpha +\beta \mathrm {i} \right)^{2}}{\alpha +\left(\beta +1\right)\mathrm {i} }}={\frac {\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2\alpha \beta \mathrm {i} \right)\left(\alpha -\left(\beta +1\right)\mathrm {i} \right)}{\alpha ^{2}+\left(\beta +1\right)^{2}}}={\frac {\alpha ^{3}+\alpha \beta ^{2}+2\alpha \beta +\mathrm {i} \left(\alpha ^{2}\beta +\beta ^{3}-\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)}{\alpha ^{2}+\left(\beta +1\right)^{2}}}$.

 

Exercice 2-4

Résoudre, dans ℂ, les équations suivantes :

a)   $\left(2+\mathrm {i} \right)z=5\left(1-2\mathrm {i} \right)$ ;

b)   $\left(3+\mathrm {i} \right)z-3\left(2-3\mathrm {i} \right)=2-5\mathrm {i}$ ;

c)   $4z^{2}+8\left|z\right|^{2}=3$ ;

d)   $z=\mathrm {i} {\overline {z}}$ ;

e)   $\mathrm {i} z-{\overline {z}}+2-3\mathrm {i} =0$.

Solution

a)   ${\frac {5\left(1-2\mathrm {i} \right)}{2+\mathrm {i} }}={\frac {5\left(-\mathrm {i} \right)\left(2+\mathrm {i} \right)}{2+\mathrm {i} }}=-5\mathrm {i}$ ;

b)   ${\frac {2-5\mathrm {i} +3\left(2-3\mathrm {i} \right)}{3+\mathrm {i} }}={\frac {\left(8-14\mathrm {i} \right)\left(3-\mathrm {i} \right)}{10}}={\frac {\left(4-7\mathrm {i} \right)\left(3-\mathrm {i} \right)}{5}}={\frac {5-25\mathrm {i} }{5}}=1-5\mathrm {i}$ ;

c)   $4z^{2}+8\left|z\right|^{2}=3\Rightarrow z^{2}\in \mathbb {R} \Rightarrow z\in \mathbb {R} \cup \mathrm {i} \mathbb {R}$.

$4x^{2}+8x^{2}=3\Leftrightarrow x=\pm {\frac {1}{2}}$ et $-4y^{2}+8y^{2}=3\Leftrightarrow y=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

Les solutions sont donc $\pm {\frac {1}{2}}$ et $\pm \mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

d)   $\mathrm {i} \left(x-\mathrm {i} y\right)=y+\mathrm {i} x$ donc l'ensemble des solutions est $\left(1+\mathrm {i} \right)\mathbb {R}$.

e)   $\forall x,y\in \mathbb {R} \quad \mathrm {i} \left(x+\mathrm {i} y\right)-\left(x-\mathrm {i} y\right)=\left(x+y\right)\left(-1+\mathrm {i} \right)\neq -2+3\mathrm {i}$ donc il n'y a pas de solution.

 

Exercice 2-5

Résoudre les systèmes suivants :

a)   ${\begin{cases}\mathrm {i} x-\left(2-\mathrm {i} \right)y=-7+6\mathrm {i} \\\left(1+\mathrm {i} \right)x+\left(1-\mathrm {i} \right)y=1-\mathrm {i} \end{cases}}$

b)   ${\begin{cases}\left(1+\mathrm {i} \right)x-\mathrm {i} y=1-\mathrm {i} \\\left(3+\mathrm {i} \right)x+\left(1-\mathrm {i} \right)y=11+4\mathrm {i} \end{cases}}$

c)   ${\begin{cases}2\mathrm {i} x-\left(1+\mathrm {i} \right)y=4\\3{\overline {x}}-2\mathrm {i} {\overline {y}}=\mathrm {i} \end{cases}}$

Solution

a)   $\left(1+\mathrm {i} \right)x+\left(1-\mathrm {i} \right)y=1-\mathrm {i} \Leftrightarrow \left(1+\mathrm {i} \right)^{2}x+2y=2\Leftrightarrow y=1-\mathrm {i} x$.

$\mathrm {i} x-\left(2-\mathrm {i} \right)\left(1-\mathrm {i} x\right)=-7+6\mathrm {i} \Leftrightarrow x={\frac {-5+5\mathrm {i} }{1+3\mathrm {i} }}=1+2\mathrm {i}$.

$1-\mathrm {i} \left(1+2\mathrm {i} \right)=3-\mathrm {i}$.

La solution est donc : $x=1+2\mathrm {i} ,\;y=3-\mathrm {i}$.

b)   $\left(1+\mathrm {i} \right)x-\mathrm {i} y=1-\mathrm {i} \Leftrightarrow y=\left(1-\mathrm {i} \right)x+1+\mathrm {i}$.

$\left(3+\mathrm {i} \right)x+\left(1-\mathrm {i} \right)\left(\left(1-\mathrm {i} \right)x+1+\mathrm {i} \right)=11+4\mathrm {i} \Leftrightarrow x={\frac {9+4\mathrm {i} }{3-\mathrm {i} }}={\frac {23+21\mathrm {i} }{10}}$.

$\left(1-\mathrm {i} \right){\frac {23+21\mathrm {i} }{10}}+1+\mathrm {i} ={\frac {22-\mathrm {i} }{5}}+1+\mathrm {i} ={\frac {27+4\mathrm {i} }{5}}$.

La solution est donc : $x={\frac {23+21\mathrm {i} }{10}},\;y={\frac {27+4\mathrm {i} }{5}}$.

c)   $3{\overline {x}}-2\mathrm {i} {\overline {y}}=\mathrm {i} \Leftrightarrow 3x+2\mathrm {i} y=-\mathrm {i} \Leftrightarrow x=-{\frac {\mathrm {i} \left(1+2y\right)}{3}}$.

$-2\mathrm {i} {\frac {\mathrm {i} \left(1+2y\right)}{3}}-\left(1+\mathrm {i} \right)y=4\Leftrightarrow y={\frac {10}{1-3\mathrm {i} }}=1+3\mathrm {i}$.

$-{\frac {\mathrm {i} \left(1+2\left(1+3\mathrm {i} \right)\right)}{3}}=-{\frac {\mathrm {i} \left(3+6\mathrm {i} \right)}{3}}=2-\mathrm {i}$.

La solution est donc : $x=2-\mathrm {i} ,\;y=1+3\mathrm {i}$.

 

Exercice 2-6

Soit $f\left(z\right)=z^{2}-\left(3-2\mathrm {i} \right)z+5-\mathrm {i}$.

1°  Vérifier que $f\left(z\right)$ est divisible par $z-1-\mathrm {i}$.

2°  Factoriser $f\left(z\right)$.

Solution

1°   $f\left(1+\mathrm {i} \right)=\left(1+\mathrm {i} \right)^{2}-\left(3-2\mathrm {i} \right)\left(1+\mathrm {i} \right)+5-\mathrm {i} =2\mathrm {i} -\left(5+\mathrm {i} \right)+5-\mathrm {i} =0$.

2°   $3-2\mathrm {i} -\left(1+\mathrm {i} \right)=2-3\mathrm {i}$ donc $f\left(z\right)=\left(z-1-\mathrm {i} \right)\left(z-2+3\mathrm {i} \right)$.

 

Exercice 2-7

Soit $\alpha$ un réel et $z=\left(\alpha -\mathrm {i} \right)\left[\left(10-\alpha \right)+\left(2+\alpha \right)\mathrm {i} \right]$.

Déterminer $\alpha$ tel que $z$ soit réel.

Préciser, dans ce cas, la valeur de $z$.

Solution

$\left(\alpha -\mathrm {i} \right)\left[\left(10-\alpha \right)+\left(2+\alpha \right)\mathrm {i} \right]=\left(\alpha +\mathrm {i} \right)\left[\left(10-\alpha \right)-\left(2+\alpha \right)\mathrm {i} \right]\Leftrightarrow 2\alpha \left(2+\alpha \right)\mathrm {i} =2\mathrm {i} \left(10-\alpha \right)\Leftrightarrow \alpha ^{2}+3\alpha -10=0\Leftrightarrow \alpha =-5{\text{ ou }}2$.

Alors, $z=\operatorname {Re} (z)=\alpha \left(10-\alpha \right)+\left(2+\alpha \right)=-\alpha ^{2}+11\alpha +2$ donc si $\alpha =-5$, $z=-78$ et si $\alpha =2$, $z=20$.