Leçons de niveau 15

Analyse vectorielle/Analyse vectorielle complexe

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Analyse vectorielle complexe
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Chapitre no 9
Leçon : Analyse vectorielle
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Dans certains cas, on est amené à considérer des champs sous la forme de solutions harmoniques, qui sont commodes en notation complexe. En effet, toute fonction « suffisamment régulière » peut être décomposée en somme de telles solutions, d’après le théorème de Fourier. Les outils d'analyse vectorielle s'adaptent à cette description.

Pour l'exemple, nous traiterons ici le cas très général du champ électrique .

Notations et rappels[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons introduire les notations que nous utiliserons dans ce chapitre, à des fins simplificatrices. On suppose que le champ électrique est de la forme :

Avec Ei des amplitudes de champs, ω la pulsation de l'onde, le vecteur d'onde (dont la norme est le nombre d'onde k) et Φi des éventuels déphasages. On rappelle que k est défini par k² = ω²/c².

On introduit la notation complexe :

De sorte que le champ électrique véritable est la partie réelle de ce « vecteur complexe » :

On peut réécrire :

Il est important à ce stade de noter que la quantité n’est pas élémentaire : il s'agit d'un vecteur dont les coordonnées sont des nombres complexes.

Par ailleurs, la dérivation temporelle se fait en multipliant le vecteur par la quantité .

Outils d'analyse vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

On admet ici que le vecteur formel nabla prend dans l'espace de Fourier la forme suivante :

On retrouve ainsi les expressions des opérateurs vectoriels :

  • Divergence :
  • Rotationnel :
  • Laplacien :

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Exemple simple (relation de structure)[modifier | modifier le wikicode]

Commençons par un exemple simple. Supposons que le champ se propage selon la seule direction x dans le vide, alors d’après l'équation de Maxwell-Gauss :

.

Avec ce qui précède, la divergence du champ électrique est la partie réelle de :

.

Ainsi, on a :

.

C'est-à-dire qu’à tout instant, le champ électrique est orthogonal à sa direction de propagation (cela est évident du point de vue des invariances, mais il est toujours bon de le vérifier).

Exemple moins simple (nombre d'onde)[modifier | modifier le wikicode]

Intéressons-nous plutôt à l'équation de propagation du champ électrique. En effet, on sait que, dans le vide :

.

Réécrivons cela à la lumière des outils développés dans ce chapitre :

 ;
.

On a ainsi :

.

On retrouve la définition de , ce qui est rassurant.