Analyse numérique et calcul scientifique/Splines

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Nous avons vu précédemment que pour interpoler n + 1 points distincts par un polynôme, il faut un polynôme de degré au moins n. Par exemple pour 100 points distincts, le meilleur polynôme d'interpolation sera de degré 100 ! C'est trop coûteux.

On introduit alors l'interpolation polynomiale par morceaux. Les fonctions interpolantes sont appelées splines.

Définition

Étant donnés n + 1 points (x_i, y_i) tels que x₀ < x₁ < … < x_n, la^[pas clair] fonction spline $S$ interpolant ces points est définie comme suit :

• $S(x_{i})=y_{i}$ ;
• pour $i=0,1,\dots ,n-1$, $S$ coïncide avec $S_{i}$ sur $\left[x_{i},x_{i+1}\right]$ ;
• les $S_{i}$ sont des polynômes.

On dit que la fonction $S$ est polynomiale par morceaux.

La spline est dite linéaire (respectivement quadratique, cubique) si les polynômes $S_{i}$ sont de degré 1 (respectivement 2, 3).