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Arithmétique .
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fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Arithmétique : PPCM Arithmétique/PPCM », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
deux entiers relatifs non tous deux nuls. Nous allons définir leur PPCM à partir de leur PGCD,
d
:=
pgcd
(
a
,
b
)
{\displaystyle d:=\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)}
, et déduire ses propriétés de celles de
d
{\displaystyle d}
, à commencer par la suivante :
Les deux entiers
a
′
{\displaystyle a'}
et
b
′
{\displaystyle b'}
définis par
a
=
d
a
′
{\displaystyle a=da'}
et
b
=
d
b
′
{\displaystyle b=db'}
sont premiers entre eux et
a
b
d
=
a
′
b
′
d
=
a
b
′
=
b
a
′
{\displaystyle {\frac {ab}{d}}=a'b'd=ab'=ba'}
.
Définition
Remarques
Le théorème ci-dessous justifiera cette appellation.
ppcm
(
a
,
b
)
=
ppcm
(
|
a
|
,
|
b
|
)
{\displaystyle \operatorname {ppcm} \left(a,b\right)=\operatorname {ppcm} \left(\left|a\right|,\left|b\right|\right)}
.
Avec les notations ci-dessus, on a
|
a
′
b
|
=
|
a
b
′
|
=
ppcm
(
a
,
b
)
{\displaystyle \left|a'b\right|=\left|ab'\right|=\operatorname {ppcm} \left(a,b\right)}
.
Théorème
Début d’un théorème
Théorème
Les multiples communs à
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
sont les multiples de
ppcm
(
a
,
b
)
{\displaystyle \operatorname {ppcm} \left(a,b\right)}
.
En particulier,
ppcm
(
a
,
b
)
{\displaystyle \operatorname {ppcm} \left(a,b\right)}
est le plus entier strictement positif divisible à la fois par
a
{\displaystyle a}
et par
b
{\displaystyle b}
.
Fin du théorème
Propriétés
Chaque propriété du PGCD fournit, d'après la définition ci-dessus, une propriété correspondante pour le PPCM. Par exemple :
Propriété
Si l’on multiplie deux entiers non tous deux nuls par un même entier
k > 0, leur PPCM est multiplié par
k , c'est-à-dire :
ppcm
(
k
a
,
k
b
)
=
k
×
ppcm
(
a
,
b
)
{\displaystyle \operatorname {ppcm} \left(ka,kb\right)=k\times \operatorname {ppcm} \left(a,b\right)}
.
Démonstration
ppcm
(
k
a
,
k
b
)
=
|
k
a
k
b
|
pgcd
(
k
a
,
k
b
)
=
k
2
|
a
b
|
k
pgcd
(
a
,
b
)
=
k
×
|
a
b
|
pgcd
(
a
,
b
)
=
k
×
ppcm
(
a
,
b
)
{\displaystyle \operatorname {ppcm} \left(ka,kb\right)={\frac {\left|ka\ kb\right|}{\operatorname {pgcd} \left(ka,kb\right)}}={\frac {k^{2}\left|ab\right|}{k\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)}}=k\times {\frac {\left|ab\right|}{\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)}}=k\times \operatorname {ppcm} \left(a,b\right)}
.
(Pour un énoncé plus précis dans un anneau quelconque, voir l'exercice 4 de la leçon sur les anneaux .)
Décomposition en facteur premiers
On prend tous les facteurs intervenant dans les décompositions, chacun d'entre eux à son plus grand exposant.
Début de l'exemple
Exemple
a
=
60
a
=
2
2
×
3
×
5
{\displaystyle a=60\qquad a=2^{2}\times 3\times 5}
b
=
48
b
=
2
4
×
3
{\displaystyle b=48\qquad b=2^{4}\times 3}
ppcm
(
a
,
b
)
=
2
4
×
3
×
5
{\displaystyle \operatorname {ppcm} \left(a,b\right)=2^{4}\times 3\times 5}
Fin de l'exemple