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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Équation différentielle : Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre
Notations et définitions
Une équation différentielle linéaire d'ordre deux à coefficients constants avec second membre est de la forme :
On suppose que a n’est pas nul et que d est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Remarques :
- Les physiciens disposent de leur propre formalisme pour ces équations typiques des phénomènes oscillants. Voir pour cela : Équation différentielle linéaire de la faculté de physique.
- Néanmoins on utilisera la lettre t comme variable dans ce chapitre.
Exemples
1. ![{\displaystyle y''+y'-2y=t-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a766b5e31cfaad8498086ba889d6d0288a844682)
2.
Équation homogène associée
Espace vectoriel
L'ensemble des solutions de
est un espace vectoriel de dimension 2.
Cela signifie qu’il suffit de déterminer 2 solutions linéairement indépendantes pour les avoir toutes par combinaison linéaire.
Équation caractéristique
Exemples
Donner les équations caractéristiques
des équations différentielles homogènes suivantes.
![{\displaystyle (E_{1}):y''+y'-2y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b8eada7e68d6868a6a82668c52b499052078a8)
![{\displaystyle (E_{2}):y''+4y'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394bae0a080cc7d1b4dc8a08dd7008b741817358)
Résolution
On suppose ici que les coefficients
sont réels, et l'on cherche les fonctions à valeurs réelles solutions de
.
Début d’un théorème
Théorème
Une solution générale de
s'écrit différemment selon les solutions de l'équation caractéristique
:
- Si
, les solutions de
sont réelles
et
et la solution générale de
est :
.
- Si
, la solution unique
de
est réelle et la solution générale de
est :
.
- Si
, les solutions de
sont des complexes conjugués non réels
et
et la solution générale de
est :
.
Fin du théorème
Démonstration
Soient
les deux racines (réelles distinctes, réelles égales, ou complexes conjuguées distinctes, selon les trois cas pour
) de
. Puisque l'exponentielle ne s'annule pas, toute fonction
à valeurs complexes peut s'écrire sous la forme
,
avec
à valeurs complexes.
On a alors :
![{\displaystyle {\begin{aligned}(E_{0})&\Leftrightarrow a\left(g''+2r_{1}g'+r_{1}^{2}g\right)\operatorname {e} ^{r_{1}t}+b\left(g'+r_{1}g\right)\operatorname {e} ^{r_{1}t}+cg\operatorname {e} ^{r_{1}t}=0\\&\Leftrightarrow ag''+(2ar_{1}+b)g'+(ar_{1}^{2}+br_{1}+c)g=0\\&\Leftrightarrow g''+(2r_{1}+b/a)g'=0\\&\Leftrightarrow g''+(r_{1}-r_{2})g'=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33d884a71596f1b5fbe26cb7e93c9a028f1d65f)
- Si
alors
et le résultat ci-dessus se simplifie :
et les solutions de
sont donc bien les fonctions de la forme
,
- avec
complexes ou réels, selon qu'on cherche les solutions
à valeurs complexes ou réelles.
- Si
alors
et
donc les solutions de
à valeurs complexes sont les fonctions de la forme
![{\displaystyle f(t)=A\operatorname {e} ^{r_{1}t}+B\operatorname {e} ^{r_{2}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adec55cd4ac4700c432bd96ad5f8b4d1dcc3d305)
- avec
.
- Si
alors
et une fonction de la forme ci-dessus est à valeurs réelles si et seulement si
. En effet, si
alors
est clairement à valeurs réelles, et réciproquement, si
est à valeurs réelles alors
et
donc
et ![{\displaystyle B={\frac {f'(0)-r_{1}f(0)}{r_{2}-r_{1}}}\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f309bc3e3f356b8f4b749b2c3940970873e7c9)
- Si
alors
avec
, et les fonctions de la forme ci-dessus peuvent aussi s'écrire, par changement de paramètres
(équivalent à
) :
![{\displaystyle f(t)=\left(C\cos(\beta t)+D\sin(\beta t)\right)\operatorname {e} ^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c88a42a1d010945d4f2df22e749d7a95195cf3e)
- avec
. Par un raisonnement analogue au précédent, une telle fonction
est à valeurs réelles si et seulement si
. En effet,
et
.
Équation avec second membre
Début d’un théorème
Fin du théorème
Remarque : Le problème revient alors à trouver une solution particulière de (E), ce qui n’est pas toujours évident.
Cas particulier où ![{\displaystyle d(t)=\operatorname {e} ^{\lambda t}P(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debca3d16af99c0013d4d46d66db647210848274)
Début d’un théorème
Théorème
Dans le cas où :
où P est un polynôme, il existe une solution particulière de la forme :
où Q est un polynôme, avec :
- si
n’est pas solution de l'équation caractéristique, le degré de Q est le même que celui de P ;
- si
est solution simple de l'équation caractéristique, le degré de Q est celui de P plus 1 ;
- si
est solution double de l'équation caractéristique, le degré de Q est celui de P plus 2.
Fin du théorème
Démonstration
Par changement de fonction
,
![{\displaystyle (E)\Leftrightarrow a\left(Q''+2\lambda Q'+\lambda ^{2}Q\right)\operatorname {e} ^{\lambda t}+b\left(Q'+\lambda Q\right)\operatorname {e} ^{\lambda t}+c\operatorname {e} ^{\lambda t}Q=\operatorname {e} ^{\lambda t}P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60a1bfcbdc395ecca709ac05f6ba4fe84184c62b)
.
Montrons, par un raisonnement analogue à celui vu en exercice dans le cas du premier ordre, qu'il existe au moins une solution
polynomiale (et en général une seule, de même degré que
).
Soit
.
- Si
(c'est-à-dire si
n'est pas solution de l'équation caractéristique), l'application
est linéaire et préserve le degré donc est bijective.
a donc un unique antécédent
par
, et son degré est
.
- Si
mais
(c'est-à-dire si
est racine simple de l'équation caractéristique), l'application
est linéaire et préserve le degré donc est bijective. Il existe donc un unique polynôme
tel que
, et son degré est
. En l'intégrant, on obtient un polynôme
solution de
, de degré
(on peut même choisir son terme constant, par exemple 0).
- Si
(c'est-à-dire si
est racine double de l'équation caractéristique), l'équation devient
et ses solutions, qui s'obtiennent en intégrant
deux fois de suite, sont donc des polynômes de degré
(et il en existe un sans terme constant ni terme de degré 1).
Remarquons que dans les deux premiers de ces trois cas,
a également des solutions
non polynomiales, d'après la forme générale des solutions
de
.
Remarque
Ce cas inclut (pour
) le cas d'un second membre simplement polynomial.
Ce cas inclut également les fonctions trigonométriques.
En effet,
et
.
Pour résoudre une équation faisant intervenir ces fonctions, il faut donc passer par les exponentielles complexes.
Exemple
Déterminer une solution générale de
:
.
Équations avec conditions initiales
La condition initiale
- L'ensemble des solutions d'une E.D.L du second ordre est un espace vectoriel de dimension 2 ; le fait de fixer deux valeurs suffit à la définir parfaitement.
- Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
- un système physique régi par une équation différentielle du second ordre voit son état déterminé par une seule fonction
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
- pour déterminer cette fonction, il faut donner par exemple une position initiale
et une vitesse initiale
.
C'est ce qu'on appelle les conditions initiales.
Début d’un théorème
Fin du théorème
Exemple
Déterminer la solution de (E) vérifiant les conditions initiales données.