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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Intégration de Riemann : Propriétés de l'intégrale
Intégration de Riemann/Propriétés de l'intégrale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Du fait de la construction théorique proposée à la page précédente, chacune des propriétés sera démontrée pour les fonctions en escalier. Un « passage à la limite » suffit alors pour obtenir les résultats sur les fonctions continues par morceaux.
Dans tout ce chapitre,
et
sont des fonctions continues par morceaux sur
.
Propriété : linéarité de l'intégrale
;
.
Démonstration
Montrons la première propriété.
Pour les fonctions en escalier, la démonstration est purement calculatoire :
et
(où
est une subdivision adaptée à
et
à la fois).
Il est alors clair, par les propriétés de la somme, que :
.
La preuve de la seconde propriété est analogue.
Propriété : intégrale et ordre
;
.
Démonstration
Soit
.
Si
, alors
puisque
et
.
Le deuxième résultat se déduit du premier en considérant l'intégrale
et en utilisant la linéarité de l'intégrale.
Relation de Chasles
![{\displaystyle \forall c\in ]a,b[\quad \int _{a}^{c}f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56423e6f3574394d0b56a900c15510aa520076b1)
.
Définition
;
.
Propriété : intégrale et valeur absolue
![{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\ \mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bd9c082bec9ea1dfcf39a7b6eb2b5c93d950f6)
.
Démonstration
donc
.
Définition : valeur moyenne d'une fonction
La valeur moyenne de
sur l'intervalle
est le réel :
![{\displaystyle \mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc77d5a55d8b7e66767159917288427cb5d2441)
.
Interprétation graphique :
est la valeur de la fonction constante qui aurait sur
la même intégrale que
.
La propriété qui suit est un corollaire bien pratique de la propriété « intégrale et ordre » :
Inégalité de la moyenne
Soient
.
Si
![{\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad m\leq f(x)\leq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa547c9838faab713d50107879b1a0ccf87f3c0e)
, alors
![{\displaystyle m\leq \mu \leq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf0c01033cca1d50ab5ceaa958999ff95eae603)
.
On démontre en algèbre linéaire que l'application
est un produit scalaire et l'on en déduit l'inégalité de Cauchy-Schwarz (ici énoncée pour les intégrales) :
Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales
![{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)g(x)\ \mathrm {d} x\right|\leq {\sqrt {\int _{a}^{b}(f(x))^{2}\ \mathrm {d} x\ \int _{a}^{b}(g(x))^{2}\ \mathrm {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114565cb11b8e149d33b593cf5a9557e04fe5458)
.
Enfin, une dernière propriété des intégrales de fonctions continues :