Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes

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$K$ est un corps commutatif et $E$ est un $K$-espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie). Toutes les notions développées ici peuvent être particularisées aux matrices.

Définition et premières propriétés

Définition

Soient $P=\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in K[X]$ et $\varphi \in \operatorname {L} (E)$.

• On définit $\varphi ^{n}=\underbrace {\varphi \circ \varphi \circ \ldots \circ \varphi } _{n\mathrm {fois} }\ \forall n\in \mathbb {N} ^{*}$ et $\varphi ^{0}=\mathrm {Id} _{E}$ .
• L'évaluation de $P$ en $\varphi$ est l'endomorphisme $P(\varphi )=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi ^{k}$ de $E$, soit : $P(\varphi ):E\to E,\quad x\mapsto P(\varphi )(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi ^{k}(x)$.
• On a ainsi un morphisme d'évaluation en $\varphi$, qui est un morphisme de $K$-algèbres, à savoir :

  $f_{\varphi }:K[X]\to \operatorname {L} (E),\quad P\mapsto P(\varphi )$.

La propriété de morphisme d'algèbres signifie que :

Propriété

Soient $P,Q\in K[X]$, $\varphi \in \operatorname {L} (E)$ et $\lambda \in K$. Alors on a :

$(\lambda P+Q)(\varphi )=\lambda P(\varphi )+Q(\varphi )$

$(PQ)(\varphi )=P(\varphi )Q(\varphi )$.

Début de l'exemple

Exemple

Si $P(X)=X^{2}-X+3$, alors $\forall x\in E\quad P(\varphi )(x)=(\varphi ^{2})(x)-\varphi (x)+3x=\varphi (\varphi (x))-\varphi (x)+3x$.

Fin de l'exemple

Idéal annulateur

Définition : Idéal annulateur d'un endomorphisme

On appelle idéal annulateur ${\mathcal {I}}$ d'un endomorphisme $\varphi$ l’ensemble des polynômes qui annulent $\varphi$, c'est-à-dire :

${\mathcal {I}}=\{P\in K[X]\mid P(\varphi )=0\}$.

C'est bien un idéal, puisque c'est le noyau de $f_{\varphi }$.

On montre dans le cours sur les polynômes que $K[X]$ est un anneau principal, ce qui permet de dire que :

Début d’un théorème

Théorème et définition : Polynôme minimal d'un endomorphisme

Si l'idéal ${\mathcal {I}}$ n'est pas nul, son unique générateur unitaire est appelé le polynôme minimal $\mu _{\varphi }$ de $\varphi$. Cela signifie que :

$\forall P\in K[X]\quad P(\varphi )=0\iff \mu _{\varphi }\mid P$.

Fin du théorème

(La barre verticale signifie « divise ».) Nous verrons au chapitre suivant que si $E$ est de dimension finie alors ${\mathcal {I}}$ n'est pas nul, ainsi qu'un contre-exemple en dimension infinie.

Lemme des noyaux

Début d’un théorème

Théorème

Soient $\varphi \in \operatorname {L} (E)$ et $P,Q\in K[X]$ tels que ${\text{pgcd}}(P,Q)=1$.

Alors $\ker[(PQ)(\varphi )]=\ker(P(\varphi ))\oplus \ker(Q(\varphi ))$.

Fin du théorème

Démonstration

On va montrer d’une part l'égalité (par double inclusion) et d’autre part le fait que les noyaux de $P(\varphi )$ et $Q(\varphi )$ sont en somme directe.

Le point-clé de la démonstration est le théorème de Bézout : comme $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, il existe deux polynômes $A$ et $B$ tels que $AP+BQ=1$ et donc :

$(AP)(\varphi )+(BQ)(\varphi )=\mathrm {Id} _{E}$.

• Montrons que $\ker[(PQ)(\varphi )]\subset \ker[P(\varphi )]+\ker[Q(\varphi )].$

  Tout vecteur $x\in E$ s'écrit $x=y+z$ avec $y=(AP)(\varphi )(x)$ et $z=(BQ)(\varphi )(x)$.

  Or $Q(\varphi )\circ (AP)(\varphi )=A(\varphi )\circ (PQ)(\varphi )$ donc si $(PQ)(\varphi )(x)=0$ alors $Q(\varphi )(y)=0$.

  De même, si $(PQ)(\varphi )(x)=0$ alors alors $P(\varphi )(z)=0$.

  Par conséquent, si $x\in \ker(PQ)(\varphi )$ alors $x$ est la somme d'un vecteur $z\in \ker(P(\varphi ))$ et d'un vecteur $y\in \ker(Q(\varphi ))$.

• Montrons que $\ker[P(\varphi )]+\ker[Q(\varphi )]\subset \ker[(PQ)(\varphi )].$

  $(PQ)(\varphi )=Q(\varphi )\circ P(\varphi )$ donc $\ker[P(\varphi )]\subset \ker[(PQ)(\varphi )]$. De même, $\ker[Q(\varphi )]\subset \ker[(PQ)(\varphi )]$. Puisque $\ker[P(\varphi )]$ et $\ker[Q(\varphi )]$ sont inclus dans le sous-espace vectoriel $\ker[(PQ)(\varphi )]$, leur somme l'est aussi.

• Montrons que les sous-espaces $\ker[P(\varphi )]$ et $\ker[Q(\varphi )]$ sont en somme directe.

  $(AP)(\varphi )=A(\varphi )\circ P(\varphi )$ donc $\ker[P(\varphi )]\subset \ker[(AP)(\varphi )]$. De même, $\ker[Q(\varphi )]\subset \ker[(BQ)(\varphi )]$. Par conséquent,

  $\ker[P(\varphi )]\cap \ker[Q(\varphi )]\subset \ker[(AP)(\varphi )]\cap \ker[(BQ)(\varphi )]\subset \ker[(AP)(\varphi )+(BQ)(\varphi )]=\ker[\operatorname {Id} _{E}]=\{0\}.$

 

On en déduit par récurrence le :

Début d'un lemme

Lemme des noyaux

Soient $P_{0},\ldots ,P_{m}\in K[X]$ deux à deux premiers entre eux. Alors :

$\ker \left(\prod _{i=0}^{m}P_{i}(\varphi )\right)=\bigoplus _{i=0}^{m}\ker \;P_{i}(\varphi )$.

Fin du lemme

Stabilité

Propriété

Si $P,Q\in K[X]$ et $\varphi \in \operatorname {L} (E)$, alors $\mathrm {Ker} (P(\varphi ))$ et $\mathrm {Im} (P(\varphi ))$ sont stables par $Q(\varphi )$.

Cela est dû au fait que $P(\varphi )$ et $Q(\varphi )$ commutent.