En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Primitives 5
Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 5 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Pour chacune des fonctions
suivantes, donner une primitive
de
, en précisant les domaines de définition de
et
.
Exercice 8-1
Solution
En utilisant que
pour
, on trouve une primitive de
sur
:
.
Plus généralement, une primitive sur
de
est
.
Exercice 8-2
Solution
donc une primitive de
sur
est
.
Exercice 8-3
Solution
donc une primitive de
sur
est
.
Exercice 8-4
Exercice 8-5
Exercice 8-6
Solution
donc une primitive de
sur
est
.
Exercice 8-7
Solution
donc une primitive de
sur
est
.
Exercice 8-8
Solution
donc une primitive de
sur
est
.
Exercice 8-9
Solution
Sur
,
et
donc une primitive de
sur
est
.
Exercice 8-10
et
.
Solution
et
donc (sur
) une primitive de
est
et une primitive de
est
.
Exercice 8-11
Solution
donc une primitive de
sur
est
.
Exercice 8-12
Exercice 8-13
, puis
.
Exercice 8-14
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
,
,
,
.
Solution
![{\displaystyle {\frac {x^{4}}{2}}+x^{3}-x+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af7c015b0b1ed321a63c73be067ba925088c235)
![{\displaystyle {\frac {x^{{\frac {4}{5}}+1}}{{\frac {4}{5}}+1}}+c={\frac {5x^{\frac {9}{5}}}{9}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2791d417ab9a6d2ee5ea4ca198c92be6efd5ae22)
- Changement de variable
, ![{\displaystyle \int f_{3}(x)\;\mathrm {d} x=\int (1-y^{2})y\;2y\mathrm {d} y={\frac {2y^{3}}{3}}-{\frac {2y^{5}}{5}}+c={\frac {2x^{\frac {3}{2}}}{3}}-{\frac {2x^{\frac {5}{2}}}{5}}+c=2{\sqrt {x}}\left({\frac {x}{3}}-{\frac {x^{2}}{5}}\right)+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c451589fff4a7563763ff881c85d6af60e263f3c)
![{\displaystyle {\frac {(3x+2)^{4}}{12}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4f312cc6444c432d6f93ffb189364a28c92558)
![{\displaystyle {\frac {\sin(4x+1)}{4}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b27c7b10f671d8b97dc26c2f0245aa35044981)
- Changement de variable
, ![{\displaystyle \int f_{6}(x)\;\mathrm {d} x=-\int y^{2}\mathrm {d} y=-{\frac {y^{3}}{3}}+c=-{\frac {(1-x^{2})^{\frac {3}{2}}}{3}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6af903a1347a296ac1f8121e88a98c34ae03e66)
![{\displaystyle {\frac {(5\sin x+2)^{4}}{20}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20050cc9bf8dda9f7764ab1cc7c3f3c14310347)
:
sur
,
sur ![{\displaystyle \left]-{\frac {5}{3}},+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28064f3e6ace77dda871190e15ed84254777346)
- Changement de variable
, ![{\displaystyle \int f_{9}(x)\;\mathrm {d} x=\int {\frac {\mathrm {d} y}{y(1+y)}}=\int \left({\frac {1}{y}}-{\frac {1}{1+y}}\right)\;\mathrm {d} y=\ln |y|-\ln |1+y|+c=x-\ln(1+\mathrm {e} ^{x})+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc3d7e912d4681679ed76024b54bbb82056af67)
![{\displaystyle {\frac {(\mathrm {e} ^{2x}+2)^{5}}{10}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3a476120e14bf86c8b43a14fe27fa903c6fbd7)
![{\displaystyle \int \left(1-{\frac {1}{x+2}}\right)\;\mathrm {d} x=x-\ln |x+2|+c_{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eaa1c674ae96f49ad169041c5aabfec2770ecbb)
![{\displaystyle {\frac {\arctan {\frac {x}{a}}}{a}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2ca62cd3a278e5976bfe282014a9600ffebde7)
![{\displaystyle {\frac {\ln(x^{2}+4)}{2}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ffa0f51ed4a29130350f6e9119a3854b051fc0)
, ![{\displaystyle F_{14}(x)=x+\ln |x-2|-\ln |x+2|+c_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2d8b666b5b2da382a1176f7023b315247eb0e7)
, ![{\displaystyle F_{15}(x)={\frac {1}{4}}\left(\ln |x+1|-\ln |x+5|\right)+c_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cda744a292580774a2b1d0e56a8bfbf19b27cfc)
, ![{\displaystyle F_{16}(x)={\frac {x}{2}}-{\frac {\sin(2x)}{4}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb61871bbe239b6ac7b981305033c0641297420)
, ![{\displaystyle F_{17}(x)={\frac {1}{64}}\sin(4x)+{\frac {1}{8}}\sin(2x)+{\frac {3x}{8}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4ddf95175366793d6df1884e3c4e11199bd1ef)
, ![{\displaystyle F_{18}(x)={\frac {1}{2(a+b)}}\sin {\big (}(a+b)x{\big )}+{\frac {1}{2(a-b)}}\sin {\big (}(a-b)x{\big )}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b52336dac09b397101e1c3242ab617a4e9ffdb)
![{\displaystyle \left[x\arctan x\right]-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\;\mathrm {d} x=x\arctan x-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8343651813c3f59d471b95bd0891d4d2dc2b6ac0)
![{\displaystyle \left[x\ln(x^{2}+2)\right]-2\int {\frac {x^{2}}{x^{2}+2}}\;\mathrm {d} x=\left[x\ln(x^{2}+2)\right]-2\int \left(1-frac2{x^{2}+2}\right)\;\mathrm {d} x=x\ln(x^{2}+2)-2x+2{\sqrt {2}}\arctan {\frac {x}{\sqrt {2}}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb34e62eb1674eeae4d3f222f7ee4217f02a7b6)
. Une primitive de
(cf. Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 3#Exercice 6-2) est
. Donc
.
donc
.