Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables

Exercice 1

Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$.

1. Montrer que tout sous-espace de $E$ engendré par une famille de vecteurs propres pour $u$ est stable (par $u$).
2. On suppose que $u$ est diagonalisable. Déduire de la question précédente qu'alors, tout sous-espace de $E$ admet un supplémentaire stable.

Solution

1. Soit $W$ un sous-espace engendré par une famille $(w_{i})_{i\in I}$ de vecteurs propres, de valeurs propres associées $(\lambda _{i})_{i\in I}$. Tout vecteur de $W$ s'écrit alors sous la forme $z=\sum _{i\in J}x_{i}w_{i}$ (où $J$ est une partie finie de $I$ et les $x_{i}$ sont des scalaires) donc son image appartient à $W$, car $u(z)=\sum _{i\in J}x_{i}\lambda _{i}w_{i}$.
2. Soient $G$ une partie génératrice de $E$ constituée de vecteurs propres, $V$ un sous-espace de $E$, et $L$ une base de $V$. D'après le théorème de la base incomplète, il existe un sous-ensemble $G'\subset G$ tel que $L\cup G'$ soit une base de $E$. Le sous-espace $W$ engendré par $G'$ est alors un supplémentaire de $V$ et — d'après la question 1 — $W$ est stable.

 

Exercice 2

Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $U=V\oplus W$ avec $V$ et $W$ stables par $u$. On note $v$ et $w$ les restrictions de $u$ à ces deux sous-espaces.

1. Soit $\lambda$ un scalaire. On note $U_{\lambda }$, $V_{\lambda }$ et $W_{\lambda }$ les sous-espaces correspondants (propres ou nuls) de $U$, $V$ et $W$. Démontrer que $U_{\lambda }=V_{\lambda }\oplus W_{\lambda }$.
2. En déduire que si $u$ est diagonalisable alors $v$ et $w$ le sont aussi.
3. En déduire (en utilisant l'exercice précédent) que :
   La restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable.

Solution

1. On a évidemment $V_{\lambda }\oplus W_{\lambda }\subset U_{\lambda }$. Réciproquement, montrons que tout vecteur $x\in U_{\lambda }$ appartient à $V_{\lambda }+W_{\lambda }$. Soit $x=y+z$ sa décomposition selon la somme directe $V\oplus W$. Alors, $u(x)=\lambda x$ se réécrit $u(y)+u(z)=\lambda y+\lambda z$, ce qui donne deux décompositions d'un même vecteur selon la somme directe $V\oplus W$. Par unicité d'une telle décomposition, $u(y)=\lambda y$ et $u(z)=\lambda z$, autrement dit : $y\in V_{\lambda }$ et $z\in W_{\lambda }$. On a donc bien : $x=y+z\in V_{\lambda }+W_{\lambda }$.
2. Notons $U':=\oplus _{\lambda }U_{\lambda }\subset U$ et définissons de même $V'$ et $W'$. D'après la question précédente, $U'=\oplus _{\lambda }(V_{\lambda }\oplus W_{\lambda })=V'\oplus W'$ donc $U'\cap V=V'$. Par conséquent, si $u$ est diagonalisable, c'est-à-dire si $U=U'$, alors $V=V'$ donc $v$ est diagonalisable, et de même pour $w$.
3. Soient $u$ un endomorphisme diagonalisable d'un espace $E$, et $V$ un sous-espace stable.

   D'après l'exercice 1, $V$ possède un supplémentaire stable.

   D'après la question précédente, la restriction de $u$ à $V$ est donc diagonalisable.

 

Exercice 3

1. Vérifier que si deux endomorphismes u et v d'un espace vectoriel commutent (c'est-à-dire si $v\circ u=u\circ v$) alors chacun des sous-espaces propres pour v est stable par u.
2. En déduire, par récurrence et à l'aide du résultat de l'exercice 2, que pour tout entier n ≥ 1 :
   Si n endomorphismes diagonalisables d'un espace vectoriel commutent deux à deux, alors ils sont simultanément diagonalisables
   (c'est-à-dire qu'il existe une base de l'espace dont les vecteurs sont propres pour tous ces endomorphismes).
3. En déduire que dans M_k(K) (pour tout corps K et tout entier naturel k), toute famille (non nécessairement finie) de matrices diagonalisables qui commutent deux à deux est simultanément diagonalisable (c'est-à-dire qu'il existe une matrice inversible $P$ telle que pour chaque matrice $M$ de la famille, $P^{-1}MP$ soit diagonale).

Solution

1. Le sous-espace propre pour $v$ pour une valeur propre $\lambda$ est stable par $u$ car c'est le noyau d'un endomorphisme qui commute avec $u$ : l'endomorphisme $v-\lambda \mathrm {id}$.
2. Pour n = 1, la propriété est vraie. Pour n ≥ 1, supposons-la vraie à l'ordre n et montrons qu'elle l'est encore à l'ordre n + 1. Soient $u_{0},\dots ,u_{n}$ des endomorphismes diagonalisables de $E$ qui commutent, et soit $(E_{\lambda })_{\lambda }$ la famille des sous-espaces propres pour $u_{0}$. D'après la question précédente, chaque $E_{\lambda }$ est stable par $u_{1},\dots ,u_{n}$. Les restrictions à $E_{\lambda }$ de $u_{1},\dots ,u_{n}$ commutent et (d'après l'exercice 2) sont diagonalisables. Par hypothèse de récurrence, il existe donc une base $B_{\lambda }$ de $E_{\lambda }$ constituée de vecteurs propres pour $u_{1},\dots ,u_{n}$. Ces vecteurs sont également propres pour $u_{0}$ (pour la valeur propre $\lambda$). La réunion des $B_{\lambda }$ est alors constituée de vecteurs propres pour $u_{0},\dots ,u_{n}$, et c'est une base de $\oplus _{\lambda }E_{\lambda }=E$, ce qui termine la preuve par récurrence.
3. Soit n le rang de cette famille, c'est-à-dire la dimension (inférieure ou égale à k²) du sous-espace vectoriel de M_k(K) qu'elle engendre, et soit $(M_{1},\dots ,M_{n})$ une sous-famille constituant une base de ce sous-espace. Ces n matrices sont simultanément diagonalisables d'après la question précédente. Soit $P$ une matrice qui les diagonalise. Alors $P$ diagonalise aussi toutes leurs combinaisons linéaires, en particulier la famille toute entière.

 

Exercice 4

Sur le K-espace vectoriel $E:=K^{\mathbb {N} }$ des suites à valeurs dans K, on définit pour tout $n\in \mathbb {N}$ l'endomorphisme $P_{n}$ par : pour toute suite $x=(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$, la suite $P_{n}(x)$ est celle dont le n-ième terme vaut $x_{n}$ et les autres sont nuls.

1. Montrer que les $P_{n}$ (pour $n\in \mathbb {N}$) commutent deux à deux.
2. Montrer que chaque $P_{n}$ est diagonalisable.
3. Identifier les suites qui sont propres pour tous les $P_{n}$ à la fois.
4. En déduire que les $P_{n}$ ne sont pas simultanément diagonalisables.

Solution

1. Si $m\neq n$, $P_{n}\circ P_{m}=0=P_{m}\circ P_{n}$.
2. $P_{n}$ est une projection, donc de valeurs propres 0 et 1, et de sous-espaces propres supplémentaires

   $\ker(P_{n})=\{x\in E\mid x_{n}=0\},\quad \ker(P_{n}-\mathrm {id_{E}} )=\operatorname {im} (P_{n})=\{x\in E\mid \forall k\neq n\quad x_{k}=0\}$.

3. Soient $x$ une suite non nulle propre pour tous les $P_{n}$, et $m$ un indice tel que $x_{m}\neq 0$. Alors, $P_{m}(x)=x$ donc le seul terme non nul de $x$ est $x_{m}$. Réciproquement, soit $x$ une suite dont seul le m-ième terme est non nul. Alors, $x$ est propre pour tous les $P_{n}$ (avec la valeur propre 1 pour $P_{m}$ et 0 pour les autres $P_{n}$). Les suites propres pour tous les $P_{n}$ à la fois sont donc les suites qui n'ont qu'un terme non nul.
4. Les suites propres pour tous les $P_{n}$ à la fois n'engendrent que le sous-espace des suites qui n'ont qu'un nombre fini de termes non nuls.

 

Exercice 5

Soit $n\in \mathbb {N}$. Résoudre dans $\operatorname {M} _{2}(\mathbb {R} )$ l'équation

$M^{n}=\left({\begin{array}{cc}2&3\\4&6\\\end{array}}\right)$.

Solution

Notons $A=\left({\begin{array}{cc}2&3\\4&6\\\end{array}}\right)$.

Un simple calcul montre que $A=P\left({\begin{array}{cc}0&0\\0&8\\\end{array}}\right)P^{-1}{\text{ avec }}P=\left({\begin{array}{cc}3&1\\-2&2\\\end{array}}\right)$.

Si $M$ est solution de l'équation, alors $M$ commute avec $A$ donc $A$ et $M$ sont diagonalisables dans une même base.

Les solutions sont donc les matrices $M=PNP^{-1}$, avec $N$ diagonale et $N^{n}=\left({\begin{array}{cc}0&0\\0&8\\\end{array}}\right)$.

Si $n$ est pair, il y a deux solutions : $M=P\left({\begin{array}{cc}0&0\\0&8^{\frac {1}{n}}\\\end{array}}\right)P^{-1}$ et $M=P\left({\begin{array}{cc}0&0\\0&-8^{\frac {1}{n}}\\\end{array}}\right)P^{-1}$.

Si $n$ est impair, l'unique solution est $M=P\left({\begin{array}{cc}0&0\\0&8^{\frac {1}{n}}\\\end{array}}\right)P^{-1}$.

 

Exercice 6

Soit $A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$.

1. Soit $w=u+\mathrm {i} v\in \mathbb {C} ^{n}$ un vecteur propre pour A, pour une valeur propre $\lambda =a+\mathrm {i} b$. Montrer que le $\mathbb {R}$-sous-espace $E_{w}:=\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }(u,v)$ de $\mathbb {R} ^{n}$ est A-stable.
2. En déduire que $\mathbb {R} ^{n}$ possède un sous-espace A-stable de dimension 1 ou 2 (il en est donc de même pour tout endomorphisme d'un $\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension finie).
3. En supposant que $\lambda \notin \mathbb {R}$, montrer que $(u,v)$ est une base de $E_{w}$ et donner la matrice de $A_{|E_{w}}$ dans cette base.

Solution

1. $Au+\mathrm {i} Av=Aw=\lambda w=(au-bv)+\mathrm {i} (bu+av)$ donc $Au=au-bv$ et $Av=bu+av$.
2. $\dim E_{w}=1$ ou $2$.
3. Si $(u,v)$ est lié, soit $(c,d)\in \mathbb {R} ^{2}$ non nul tel que $cu+dv=0$. Alors, $0=A(cu+dv)=c(au-bv)+d(bu+av)=(ca+db)u+(-cb+da)v$ donc $(ca+db)d=(-cb+da)c$, c.-à-d. $b(c^{2}+d^{2})=0$, si bien que $b=0$, c.-à-d. $\lambda \in \mathbb {R}$. Par contraposition, si $\lambda \notin \mathbb {R}$ alors $(u,v)$ est libre donc est une base de $E_{w}$. La matrice de $A_{|E_{w}}$ dans cette base est alors ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$.