En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Projection et symétrie orthogonales
Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 5-1
Soit
une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien
. Soit
l'endomorphisme
dont la matrice dans la base
est
.
Montrer que
est une projection orthogonale et préciser sa « base »
.
Exercice 5-2
Soit
une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien
. Soit
l'hyperplan de
d'équation
dans la base
.
Montrer que la projection orthogonale sur
a pour matrice
dans la base
:
.
Exercice 5-3
On munit
du produit scalaire
. Soit
un polynôme de
degré
, avec
. Pour tout
, on note
le reste de la division euclidienne de
par
.
- Montrer que
est un projecteur de
. Déterminer son noyau et son image.
- On suppose que
et que
est une projection orthogonale. Montrer que pour tout
et pour tout
, on a
. En déduire que
et donc
.
- On suppose que
. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que
soit une projection orthogonale.
Solution
,
(l'ensemble des polynômes divisibles par
et de degré
) et
.
- Par hypothèse,
, c.-à-d.
donc
, autrement dit
. En particulier (si
)
donc
(ce qui est absurde puisque par hypothèse,
est de degré
; donc dans le cas
,
n'est jamais une projection orthogonale).
- Si
, les calculs précédent montrent que
est une projection orthogonale si et seulement si
.
Exercice 5-4
Soit
muni du produit scalaire
. Soient
.
- Montrer que
est une base orthonormale de
.
- Déterminer la projection orthogonale de
sur
.
- En déduire la distance de
à
.
Solution
est la matrice d'une permutation circulaire d'ordre
donc pour tous
, le réel
vaut
si
et
sinon.
.
donc
.
.
Exercice 5-5
On se place dans
muni de son produit scalaire usuel. Pour quelles valeurs de
la matrice
![{\displaystyle M=-{\frac {2}{3}}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&t&1\\t^{-1}&-{\frac {1}{2}}&t^{-1}\\1&t&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f394b7963fb4bd9a0ebe4fe7dd201ebb9d4e317)
représente-t-elle (dans la base canonique de
) une symétrie orthogonale ?
Solution
est le plan d'équation
et
est la droite de vecteur directeur
.
représente une symétrie orthogonale si et seulement si ces deux sous-espaces sont orthogonaux, c.-à-d.
colinéaire à
, ce qui équivaut à
.