Fonction dérivée/Équation d'une tangente

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Exemple

On a tracé la courbe représentative d'une fonction ƒ dont on ne précise pas la formule algébrique.

On donne :

$f(-2)=-{\frac {1}{4}}$ et $f'(-2)=-{\frac {3}{8}}$

Tracer la tangente à la courbe de ƒ au point $\left(-2,-{\frac {1}{4}}\right)$

Solution

 

Calculer une équation de cette tangente en utilisant la formule donnant l'équation d'une droite connaissant un point et le coefficient directeur.

Solution

• On pose $y=ax+b$ l'équation de la tangente à la courbe de ƒ au point d'abscisse -2.
• On sait que le nombre dérivé de ƒ en -2 vaut $-{\frac {3}{8}}$, donc $a=-{\frac {3}{8}}$
• La droite passe par le point de coordonnées $\left(-2,-{\frac {1}{4}}\right)$, donc $-{\frac {3}{8}}\times (-2)+b=-{\frac {1}{4}}$

On aboutit à $b=-1$.

Finalement, l'équation de la tangente à la courbe de ƒ au point d'abscisse -2 est $y=-{\frac {3}{8}}x-1$

 

Équation d'une tangente

On adapte la formule utilisée précédemment de façon à obtenir une formule donnant directement l'équation de la tangente à une courbe connaissant le nombre dérivé et la valeur de la fonction au point considéré.

Début d’un théorème

Théorème

Si $f$ est dérivable en $a$, alors

l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $(a,f(a))$ est :

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Fin du théorème

Démonstration

La tangente est la droite passant par le point $(a,f(a))$ et de coefficient directeur $f^{\prime }(a)$.

Un autre point $(x,y)$ appartient à cette droite si et seulement si :

${\frac {y-f(a)}{x-a}}=f'(a)$,

c'est-à-dire

$y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

La tangente a donc bien pour équation

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

 

Complément : si $\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=+\infty$ ou $-\infty$ alors $f$ n’est pas dérivable en $a$, mais la courbe a encore une tangente au point $(a,f(a))$ : la droite verticale d'équation $x=a$.

Approximation affine d'une fonction dérivable en un point

Faites ces exercices : Approximation affine locale.

Pour $x$ voisin de $a$, $f(x)$ est proche de la fonction affine $g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ (la courbe est très proche de sa tangente).

Définition

Une approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ est donnée par : $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$.

Cette approximation ne peut être faite qu'au voisinage du point d'abscisse $a$ car elle traduit le fait que, au voisinage de $a$, la courbe de ƒ peut être assimilée à sa tangente avec peu d'erreur.

Cette propriété est utile pour les méthodes de résolution numérique d'équations différentielles comme la méthode d'Euler.