Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice réelle

Décomposition polaire d'une matrice réelle

Soit $M\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$. L'objet de ce devoir est de décomposer $M$ en produit d'une matrice orthogonale (unique si $M$ est inversible) et d'une matrice (symétrique) positive (toujours unique, et inversible si $M$ l'est).

1. Montrer que ${}^{t}\!MM$ est symétrique et positive.

   Elle admet donc une unique racine carrée symétrique positive, que l'on notera $S$.

2. Montrer que si $M=QT$ avec $Q$ orthogonale et $T$ symétrique positive, alors $T=S$.
3. Si $M$ (donc aussi $S$) est inversible, montrer que la matrice $Q:=MS^{-1}$ est orthogonale (ce qui conclut dans ce cas).
4. En déduire (par densité) la conclusion voulue sans supposer $M$ inversible.
5. Retrouver ce cas général en construisant directement (sans passer par le cas particulier inversible) une matrice orthogonale $Q$ telle que $M=QS$.

Corrigé

1. ${}^{t}\!MM$ est clairement symétrique, et pour toute matrice colonne $X\in \mathbb {R} ^{n}$, ${}^{t}\!X({}^{t}\!MM)X={}^{t}\!(MX)MX=\|MX\|^{2}\geq 0$.
2. Si $M=QT$ avec $Q$ orthogonale et $T$ symétrique, alors ${}^{t}\!MM={}^{t}\!(QT)QT={}^{t}\!T{}^{t}\!QQT=T\mathrm {I} _{n}T=T^{2}$, donc si de plus $T$ est positive alors (par unicité de la racine carrée symétrique positive) $T=S$.
3. ${}^{t}\!QQ={}^{t}\!(MS^{-1})MS^{-1}={}^{t}\!(S^{-1}){}^{t}\!MMS^{-1}=({}^{t}\!S)^{-1}S^{2}S^{-1}=S^{-1}S^{2}S^{-1}=\mathrm {I} _{n}$.
4. Soit $(M_{n})$ une suite de matrices inversibles convergeant vers $M$, et $M_{n}=Q_{n}S_{n}$ leurs décompositions polaires. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut supposer (quitte à extraire une sous-suite) que $(Q_{n})$ converge. La limite $Q$ est alors orthogonale (par continuité de l'application $A\mapsto {}^{t}\!AA$), et la limite $Q^{-1}M$ des $Q_{n}^{-1}M_{n}=S_{n}$ est symétrique positive (par continuité des applications $A\mapsto {}^{t}\!A$ et, pour toute matrice colonne $X\in \mathbb {R} ^{n}$, $A\mapsto {}^{t}\!XAX$).
5. (On identifie ici tout endomorphisme de ${\mathbb {R} ^{n}}$ avec sa matrice dans la base canonique.) ${}^{t}\!SS=S^{2}={}^{t}\!MM$ donc pour tout vecteur $X\in \mathbb {R} ^{n}$, ${\|S(X)\|=\|M(X)\|}$ (en particulier $S$ et $M$ ont même noyau). Par conséquent, il existe un isomorphisme isométrique ${Q_{1}:\mathrm {Im} (S)\to \mathrm {Im} (M)}$ tel que pour tout $X$, $M(X)=Q_{1}(S(X))$. Par somme directe avec un isomorphisme isométrique arbitraire entre les orthogonaux de $\mathrm {Im} (S)$ et $\mathrm {Im} (M)$, on obtient la matrice $Q$ voulue.