Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites arithmético-géométriques

Exercice 1

Soient $a,b>0$ et $(u_{n})$ la suite définie par : $u_{0}=a,\quad u_{n+1}={\sqrt {b\,u_{n}}}$.
Exprimer $u_{n}$ en fonction de n et $a,b$ et montrer que cette suite est convergente et monotone.

Solution

La suite $(v_{n})$ définie par $v_{n}=\ln(u_{n})$ vérifie : $v_{n+1}={\frac {v_{n}+\ln b}{2}}$. C'est donc une suite arithmético-géométrique et (cf. chapitre 6)

$v_{n}=2^{-n}v_{0}+(1-2^{-n})\ln b$,

d'où

$u_{n}=a^{2^{-n}}b^{1-2^{-n}}$.

Par conséquent, $u_{n}\to a^{0}b^{1}=b$ et

${\frac {u_{n}}{u_{n-1}}}={\frac {b}{u_{n}}}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{2^{-n}}$ donc la suite est strictement croissante si $b>a$, strictement décroissante si $b<a$ et constante si $b=a$.