Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Fonctions rationnelles (2)

Exercice 3-1

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\frac {x^{2}+4x+7}{x^{2}+x-2}}$

Solution

Domaine de définition

Le dénominateur x² + x - 2 ne doit pas être nul. On remarque qu'il se factorise sous la forme (x+2)(x-1). Par conséquent :

$D_{f}=\mathbb {R} -\{-2,1\}$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}+4x+7}{x^{2}+x-2}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }1=1$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}+4x+7}{x^{2}+x-2}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}}{x^{2}}}=\lim _{x\to -\infty }1=1$

Pour les autres limites, nous mettrons l'expression de f sous la forme :

$f(x)={\frac {x^{2}+4x+7}{(x+2)(x-1)}}$

On a :

$\lim _{x\to -2^{+}}f(x)={\frac {3}{0^{+}\times -3}}={\frac {3}{0^{-}}}=-\infty$

$\lim _{x\to -2^{-}}f(x)={\frac {3}{0^{-}\times -3}}={\frac {3}{0^{+}}}=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)={\frac {12}{3\times 0^{+}}}={\frac {12}{0^{+}}}=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)={\frac {12}{3\times 0^{-}}}={\frac {12}{0^{-}}}=-\infty$

Calcul de la dérivée

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(2x+4)(x^{2}+x-2)-(x^{2}+4x+7)(2x+1)}{(x^{2}+x-2)^{2}}}\\&={\frac {2x^{3}+2x^{2}-4x+4x^{2}+4x-8-2x^{3}-x^{2}-8x^{2}-4x-14x-7}{(x^{2}+x-2)^{2}}}\\&={\frac {-3x^{2}-18x-15}{(x^{2}+x-2)^{2}}}\\&={\frac {-3(x^{2}+6x+5)}{[(x-1)(x+2)]^{2}}}\\&={\frac {-3(x+1(x+5)}{(x-1)^{2}(x+2)^{2}}}\end{aligned}}$

Nous devons faire un tableau de signes pour déterminer le signe de la dérivée :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-5&&-2&&-1&&1&&+\infty \\&&&\\\hline -3&&-&&-&&-&&-&&-&\\\hline x+1&&-&&-&&-&0&+&&+&\\\hline x+5&&-&0&+&&+&&+&&+&\\\hline (x-1)^{2}&&+&&+&&+&&+&0&+&\\\hline (x+2)^{2}&&+&&+&0&+&&+&&+&\\\hline f'(x)&&-&0&+&\|&+&0&-&\|&-&\\\hline \end{array}}$

Tableau de variations

Études des asymptotes

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=1$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=1$

Nous montre que nous avons une asymptote horizontale d'équation y = 1.

$\lim _{x\to -2^{+}}f(x)=-\infty$

$\lim _{x\to -2^{-}}f(x)=+\infty$

Nous montre que nous avons une asymptote verticale d'équation x = -2.

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$

Nous montre que nous avons une asymptote verticale d'équation x = 1.

Tracé de la courbe

 

Exercice 3-2

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\frac {(x+1)^{3}}{(x-1)^{2}}}$

Solution

Domaine de définition

Le dénominateur (x - 1)² ne doit pas être nul. Par conséquent :

$D_{f}=\mathbb {R} -\{1\}$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {(x+1)^{3}}{(x-1)^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }x=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {(x+1)^{3}}{(x-1)^{2}}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}}{x^{2}}}=\lim _{x\to -\infty }x=-\infty$

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)={\frac {8}{0^{+}}}=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)={\frac {8}{0^{+}}}=+\infty$

Calcul de la dérivée

$f'(x)={\frac {3(x+1)^{2}(x-1)^{2}-2(x-1)(x+1)^{3}}{(x-1)^{4}}}={\frac {(x+1)^{2}(x-1)[3(x-1)-2(x+1)]}{(x-1)^{4}}}={\frac {(x+1)^{2}(x-5)}{(x-1)^{3}}}$

Tableau de variations

Études des asymptotes

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation $x=1$

Le degré du numérateur surpasse de 1 le degré du dénominateur. Nous pouvons donc nous attendre à avoir une asymptote oblique dont l'équation sera sous la forme : y = ax + b.

Avec :

$a=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {(x+1)^{3}}{x(x-1)^{2}}}=1$

$b=\lim _{x\to \pm \infty }\left(f(x)-ax\right)=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {(x+1)^{3}}{(x-1)^{2}}}-x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {(x+1)^{3}-x(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {5x^{2}+2x+1}{(x-1)^{2}}}=5$

Nous avons donc une asymptote oblique d'équation y = x + 5

Tracé de la courbe

 

Exercice 3-3

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\frac {x^{3}+9}{x^{2}-1}}$

Solution

Domaine de définition

La fonction peut s'écrire :

$f(x)={\frac {x^{3}+9}{(x-1)(x+1)}}$

Le dénominateur (x - 1)(x + 1) ne doit pas être nul. Par conséquent :

$D_{f}=\mathbb {R} -\{-1,1\}$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}+9}{x^{2}-1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }x=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}+9}{x^{2}-1}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}}{x^{2}}}=\lim _{x\to -\infty }x=-\infty$

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)={\frac {10}{0^{+}\times 2}}=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)={\frac {10}{0^{-}\times 2}}=-\infty$

$\lim _{x\to -1^{+}}f(x)={\frac {8}{-2\times 0^{+}}}=-\infty$

$\lim _{x\to -1^{-}}f(x)={\frac {8}{-2\times 0^{-}}}=+\infty$

Calcul de la dérivée

$f'(x)={\frac {3x^{2}(x^{2}-1)-2x(x^{3}+9)}{(x^{2}-1)^{2}}}={\frac {x^{4}-3x^{2}-18x}{(x^{2}-1)^{2}}}={\frac {x(x^{3}-3x-18)}{(x^{2}-1)^{2}}}={\frac {x(x-3)(x^{2}+3x+6)}{(x^{2}-1)^{2}}}={\frac {x(x-3)(x^{2}+3x+6)}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}}$

x² + 3x + 6 a un discriminant négatif (voir éventuellement Équations et fonctions du second degré), donc cette expression est positive pour toute valeur de x. Faisons un tableau de signes pour mettre en évidence le signe de la dérivée :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&0&&1&&3&&+\infty \\&&&\\\hline x&&-&&-&0&+&&+&&+&\\\hline x-3&&-&&-&&-&&-&0&+&\\\hline x^{2}+3x+6&&+&&+&&+&&+&&+&\\\hline x-1&&+&&+&&+&0&+&&+&\\\hline x+1&&+&0&+&&+&&+&&+&\\\hline f'(x)&&+&\|&+&0&-&\|&-&0&+&\\\hline \end{array}}$

Tableau de variations

Études des asymptotes

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation $x=1$

$\lim _{x\to -1^{+}}f(x)=-\infty$

$\lim _{x\to -1^{-}}f(x)=+\infty$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation $x=-1$

Le degré du numérateur surpasse de 1 le degré du dénominateur. Nous pouvons donc nous attendre à avoir une asymptote oblique.

${\frac {x^{3}+9}{x^{2}-1}}={\frac {x(x^{2}-1)+x+9}{x^{2}-1}}=x+{\frac {x+9}{x^{2}-1}}$

Nous avons donc une asymptote oblique d'équation y = x car :

$\lim _{x\to \pm \infty }\left(f(x)-y\right)=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {x^{3}+9}{x^{2}-1}}-x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x+9}{x^{2}-1}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x}{x^{2}}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0$

Tracé de la courbe

 

Exercice 3-4

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\frac {x^{3}}{x-1}}$

Solution

Domaine de définition

Le dénominateur x - 1 ne doit pas être nul. Par conséquent :

$D_{f}=\mathbb {R} -\{1\}$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}}{x-1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}}{x}}=\lim _{x\to +\infty }x^{2}=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}}{x-1}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}}{x}}=\lim _{x\to -\infty }x^{2}=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)={\frac {1}{0^{+}}}=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)={\frac {1}{0^{-}}}=-\infty$

Calcul de la dérivée

$f'(x)={\frac {3x^{2}(x-1)-x^{3}\times 1}{(x-1)^{2}}}={\frac {3x^{3}-3x^{2}-x^{3}}{(x-1)^{2}}}={\frac {2x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{2}}}={\frac {x^{2}(2x-3)}{(x-1)^{2}}}$

La dérivée sera donc négative avant 3/2 et positive après 3/2.

Tableau de variations

Études des asymptotes

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$

nous montre que nous avons une asymptote verticale d'équation x = 1.

Tracé de la courbe