Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Fonctions rationnelles (3)

Exercice 4-1

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\frac {x^{3}-2x}{(x-1)^{2}(x+2)}}$

Solution

Domaine de définition

Le dénominateur (x-1)²(x+2) ne doit pas être nul. Par conséquent :

$D_{f}=\mathbb {R} -\{-2,1\}$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}-2x}{(x-1)^{2}(x+2)}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}}{x^{3}}}=\lim _{x\to +\infty }1=1$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}-2x}{(x-1)^{2}(x+2)}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}}{x^{3}}}=\lim _{x\to -\infty }1=1$

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)={\frac {-1}{0^{+}\times 3}}=-\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)={\frac {-1}{0^{+}\times 3}}=-\infty$

$\lim _{x\to -2^{+}}f(x)={\frac {-4}{9\times 0^{+}}}=-\infty$

$\lim _{x\to -2^{-}}f(x)={\frac {-4}{9\times 0^{-}}}=+\infty$

Calcul de la dérivée

$f'(x)={\frac {(3x^{2}-2)(x-1)^{2}(x+2)-(x^{3}-2x)[2(x-1)(x+2)+(x-1)^{2}]}{(x-1)^{4}(x+2)^{2}}}={\frac {(3x^{2}-2)(x-1)(x+2)-(x^{3}-2x)[2(x+2)+(x-1)]}{(x-1)^{3}(x+2)^{2}}}={\frac {(3x^{2}-2)(x-1)(x+2)-(x^{3}-2x)(3x+3)}{(x-1)^{3}(x+2)^{2}}}$

Nous soulignerons ici que si nous n'avons pas développer jusqu'ici, c'est dans l'espoir de factoriser au maximum la dérivée. D'ailleurs, c'est grâce à cela que nous avons pu simplifier par x - 1 au numérateur et au dénominateur. Mais nous sommes maintenant arrivé à une expression où il n'y a visiblement aucune factorisation possible. Nous développerons donc le numérateur :

$f'(x)={\frac {(3x^{2}-2)(x-1)(x+2)-(x^{3}-2x)(3x+3)}{(x-1)^{3}(x+2)^{2}}}={\frac {-2x^{2}+4x+4}{(x-1)^{3}(x+2)^{2}}}={\frac {-2(x^{2}-2x-2)}{(x-1)^{3}(x+2)^{2}}}$

x² - 2x - 2 a un discriminant positif égal à 12 (voir éventuellement Équations et fonctions du second degré), donc cette expression a deux racines respectivement égale à $1-{\sqrt {3}}$ et $1+{\sqrt {3}}$. Faisons un tableau de signes pour mettre en évidence le signe de la dérivée :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-2&&1-{\sqrt {3}}&&1&&1+{\sqrt {3}}&&+\infty \\&&&\\\hline -2&&-&&-&&-&&-&&-&\\\hline x^{2}-2x-2&&+&&+&0&-&&-&0&+&\\\hline (x-1)^{3}&&-&&-&&-&0&+&&+&\\\hline (x+2)^{2}&&+&0&+&&+&&+&&+&\\\hline f'(x)&&+&\|&+&0&-&\|&+&0&-&\\\hline \end{array}}$

Tableau de variations

avec :

$\alpha =f(1-{\sqrt {3}})={\frac {2(3-{\sqrt {3}})}{9}}\simeq 0,28$

$\beta =f(1+{\sqrt {3}})={\frac {2(3+{\sqrt {3}})}{9}}\simeq 1,05$

Études des asymptotes

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=1$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=1$

Nous indique que nous avons une asymptote horizontale d'équation $x=1$

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation $x=1$

$\lim _{x\to 2^{+}}f(x)=-\infty$

$\lim _{x\to 2^{-}}f(x)=+\infty$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation $x=2$

Tracé de la courbe

 

Exercice 4-2

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\frac {x^{3}+x^{2}-2x-3}{x^{2}-3}}$

Solution

Domaine de définition

La fonction peut s'écrire :

$f(x)={\frac {x^{3}+x^{2}-2x-3}{(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})}}$

Le dénominateur $(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})$ ne doit pas être nul. Par conséquent :

$D_{f}=\mathbb {R} -\{-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}}\}$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}+x^{2}-2x-3}{x^{2}-3}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }x=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}+x^{2}-2x-3}{x^{2}-3}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}}{x^{2}}}=\lim _{x\to -\infty }x=-\infty$

$\lim _{x\to {\sqrt {3}}^{+}}f(x)={\frac {\sqrt {3}}{0^{+}\times 2{\sqrt {3}}}}=+\infty$

$\lim _{x\to {\sqrt {3}}^{-}}f(x)={\frac {\sqrt {3}}{0^{-}\times 2{\sqrt {3}}}}=-\infty$

$\lim _{x\to -{\sqrt {3}}^{+}}f(x)={\frac {-2{\sqrt {3}}}{-{\sqrt {3}}\times 0^{+}}}=+\infty$

$\lim _{x\to -{\sqrt {3}}^{-}}f(x)={\frac {-2{\sqrt {3}}}{-{\sqrt {3}}\times 0^{-}}}=-\infty$

Calcul de la dérivée

$f'(x)={\frac {(3x^{2}+2x-2)(x^{2}-3)-2x(x^{3}+x^{2}-2x-3)}{(x^{2}-3)^{2}}}={\frac {x^{4}-7x^{2}+6}{(x^{2}-3)^{2}}}={\frac {(x^{2}-1)(x^{2}-6)}{(x^{2}-3)^{2}}}={\frac {(x-1)(x+1)(x-{\sqrt {6}})(x+{\sqrt {6}})}{(x^{2}-3)^{2}}}$

Faisons un tableau de signes pour mettre en évidence le signe de la dérivée :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\sqrt {6}}&&-{\sqrt {3}}&&-1&&1&&{\sqrt {3}}&&{\sqrt {6}}&&+\infty \\&&&\\\hline x-1&&-&&-&&-&&-&0&+&&+&&+&\\\hline x+1&&-&&-&&-&0&+&&+&&+&&+&\\\hline x-{\sqrt {6}}&&-&&-&&-&&-&&-&&-&0&+&\\\hline x+{\sqrt {6}}&&-&0&+&&+&&+&&+&&+&&+&\\\hline (x^{2}-3)^{2}&&+&&+&0&+&&+&&+&0&+&&+&\\\hline f'(x)&&+&0&-&\|&-&0&+&0&-&\|&-&0&+&\\\hline \end{array}}$

Tableau de variations

avec :

$\alpha =f(-{\sqrt {6}})={\frac {3-4{\sqrt {6}}}{3}}\simeq -2,266$

$\beta =f({\sqrt {6}})={\frac {3+4{\sqrt {6}}}{3}}\simeq 4,266$

Études des asymptotes

$\lim _{x\to {\sqrt {3}}^{+}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to {\sqrt {3}}^{-}}f(x)=-\infty$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation $x={\sqrt {3}}$

$\lim _{x\to -{\sqrt {3}}^{+}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to -{\sqrt {3}}^{-}}f(x)=-\infty$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation $x=-{\sqrt {3}}$

Le degré du numérateur surpasse de 1 le degré du dénominateur. Nous pouvons donc nous attendre à avoir une asymptote oblique.

${\frac {x^{3}+x^{2}-2x-3}{x^{2}-3}}={\frac {x(x^{2}-3)+x^{2}-3+x}{x^{2}-3}}=x+1+{\frac {x}{x^{2}-3}}$

Nous avons donc une asymptote oblique d'équation y = x + 1 car :

$\lim _{x\to \pm \infty }\left(f(x)-y\right)=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {x^{3}+x^{2}-2x-3}{x^{2}-3}}-(x+1)\right)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x}{x^{2}-3}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x}{x^{2}}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0$

Études particulières pour préciser le tracé

Le calcul de la dérivée seconde nous donne :

$f''(x)={\frac {2x(x^{2}+9)}{(x^{2}-3)^{3}}}$

Nous voyons que nous avons un point d'inflexion pour x = 0.

Il peut donc être intéressant de préciser le coefficient directeur de la tangente au point d'inflexion. Ce coefficient directeur est donné par :

$f'(0)={\frac {(0^{2}-1)(0^{2}-6)}{(0^{2}-3)^{2}}}={\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}$

Nous représenterons la tangente au point d'inflexion dans la courbe représentative de la fonction.

Tracé de la courbe

 

Exercice 4-3

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)=2x^{3}+2x-{\frac {1}{x}}$

Solution

Domaine de définition

Le dénominateur ne doit pas être nul. Par conséquent :

$D_{f}=\mathbb {R} -\{0\}=\mathbb {R} ^{*}$

Restriction du domaine d'étude

Nous remarquons que :

$f(-x)=2(-x)^{3}+2(-x)-{\frac {1}{-x}}=-2x^{3}-2x+{\frac {1}{x}}=-\left(2x^{3}+2x-{\frac {1}{x}}\right)=-f(x)$

Ce qui signifie que la fonction est impaire et qu'elle admet donc l'origine du repère comme centre de symétrie.

On peut donc se contenter d'étudier la fonction pour les valeurs positives de x et d'en déduire l'étude pour les valeurs négatives de x par symétrie par rapport à l'origine du repère.

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }2x^{3}+2x-{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to +\infty }2x^{3}=+\infty$

Par symétrie par rapport à l'origine, on en déduit :

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$

d'autre part :

$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=2\times 0^{3}+2\times 0-{\frac {1}{0^{+}}}=-\infty$

Par symétrie par rapport à l'origine, on en déduit :

$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty$

Calcul de la dérivée

On a immédiatement :

$f'(x)=6x^{2}+2+{\frac {1}{x^{2}}}$

et nous voyons que la dérivée est positive pour tout x comme somme de termes positifs.

Tableau de variations

Études des asymptotes

$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$

$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation $x=0$.

Autrement dit, l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe.

Études particulières pour préciser le tracé

On peut éventuellement calculer la dérivée seconde pour localiser d'éventuels points d'inflexion :

$f''(x)=12x-{\frac {2}{x^{3}}}={\frac {2(6x^{4}-1)}{x^{3}}}={\frac {2(x^{2}{\sqrt {6}}-1)(x^{2}{\sqrt {6}}+1)}{x^{3}}}={\frac {2(x{\sqrt[{4}]{6}}-1)(x{\sqrt[{4}]{6}}+1)(x^{2}{\sqrt {6}}+1)}{x^{3}}}$

Nous voyons que nous avons un point d'inflexion pour :

$x={\frac {1}{\sqrt[{4}]{6}}}\simeq 0,639$

donc l'ordonnée est :

$f\left({\frac {1}{\sqrt[{4}]{6}}}\right)\simeq 0,2345$

Par symétrie par rapport à l'origine, nous aurons aussi un point d'inflexion de coordonnées approchées (-0,639; -0,2345).

Tracé de la courbe