Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Fonctions rationnelles (2)
Exercice 3-1
[modifier | modifier le wikicode]Étudiez et tracez la fonction suivante :
Domaine de définition
Le dénominateur x2 + x - 2 ne doit pas être nul. On remarque qu'il se factorise sous la forme (x+2)(x-1). Par conséquent :
Limites aux bornes du domaine de définition
Pour les autres limites, nous mettrons l'expression de f sous la forme :
On a :
Calcul de la dérivée
Nous devons faire un tableau de signes pour déterminer le signe de la dérivée :
Tableau de variations
Études des asymptotes
Nous montre que nous avons une asymptote horizontale d'équation y = 1.
Nous montre que nous avons une asymptote verticale d'équation x = -2.
Nous montre que nous avons une asymptote verticale d'équation x = 1.
Tracé de la courbe
Exercice 3-2
[modifier | modifier le wikicode]Étudiez et tracez la fonction suivante :
Domaine de définition
Le dénominateur (x - 1)2 ne doit pas être nul. Par conséquent :
Limites aux bornes du domaine de définition
Calcul de la dérivée
Tableau de variations
Études des asymptotes
Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation
Le degré du numérateur surpasse de 1 le degré du dénominateur. Nous pouvons donc nous attendre à avoir une asymptote oblique dont l'équation sera sous la forme : y = ax + b.
Avec :
Nous avons donc une asymptote oblique d'équation y = x + 5
Tracé de la courbe
Exercice 3-3
[modifier | modifier le wikicode]Étudiez et tracez la fonction suivante :
Domaine de définition
La fonction peut s'écrire :
Le dénominateur (x - 1)(x + 1) ne doit pas être nul. Par conséquent :
Limites aux bornes du domaine de définition
Calcul de la dérivée
x2 + 3x + 6 a un discriminant négatif (voir éventuellement Équations et fonctions du second degré), donc cette expression est positive pour toute valeur de x. Faisons un tableau de signes pour mettre en évidence le signe de la dérivée :
Tableau de variations
Études des asymptotes
Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation
Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation
Le degré du numérateur surpasse de 1 le degré du dénominateur. Nous pouvons donc nous attendre à avoir une asymptote oblique.
Nous avons donc une asymptote oblique d'équation y = x car :
Tracé de la courbe
Exercice 3-4
[modifier | modifier le wikicode]Étudiez et tracez la fonction suivante :
Domaine de définition
Le dénominateur x - 1 ne doit pas être nul. Par conséquent :
Limites aux bornes du domaine de définition
Calcul de la dérivée
La dérivée sera donc négative avant 3/2 et positive après 3/2.
Tableau de variations
Études des asymptotes
nous montre que nous avons une asymptote verticale d'équation x = 1.
Tracé de la courbe