Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Calcul de limites

Exercice 7-1

Calculer les quatre limites suivantes :

• $\lim _{x\to 0}{(1+\sin x)^{\frac {1}{x}}}$

Solution

Par définition, $(1+\sin x)^{\frac {1}{x}}=\mathrm {e} ^{f(x)}$ avec $f(x)={\frac {\ln(1+\sin x)}{x}}\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,{\frac {\sin x}{x}}\,{\underset {x\to 0}{\to }}\,1$, donc $\lim _{x\to 0}{(1+\sin x)^{\frac {1}{x}}}=\mathrm {e} ^{1}=\mathrm {e}$.

 

• $\lim _{x\to +\infty }{(1+x)^{\frac {1}{x}}}$

Solution

$(1+x)^{\frac {1}{x}}=\mathrm {e} ^{f(x)}$ avec $f(x)={\frac {\ln(1+x)}{x}}\,{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\,{\frac {\ln(1+x)}{1+x}}\,{\underset {x\to +\infty }{\to }}\,0$, donc $\lim _{x\to +\infty }{(1+x)^{\frac {1}{x}}}=\mathrm {e} ^{0}=1$.

 

• $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt[{3}]{x}}\left({\sqrt[{3}]{(x+1)^{2}}}-{\sqrt[{3}]{(x-1)^{2}}}\right)$

Solution

${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{x}}\left({\sqrt[{3}]{(x+1)^{2}}}-{\sqrt[{3}]{(x-1)^{2}}}\right)&=x^{\frac {1}{3}}\left(\left(x+1\right)^{\frac {2}{3}}-\left(x-1\right)^{\frac {2}{3}}\right)\\&=x\left(\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{\frac {2}{3}}-\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{\frac {2}{3}}\right)\\&\,{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\,x\times {\frac {4}{3x}}\end{aligned}}$

Donc

$\lim _{x\to +\infty }{\sqrt[{3}]{x}}\left({\sqrt[{3}]{(x+1)^{2}}}-{\sqrt[{3}]{(x-1)^{2}}}\right)={\frac {4}{3}}$.

 

• $\lim _{x\to (-1)^{+}}{\frac {{\sqrt {\pi }}-{\sqrt {\arccos }}x}{\sqrt {x+1}}}$.

Solution

$\lim _{x\to (-1)^{+}}{\frac {{\sqrt {\pi }}-{\sqrt {\arccos }}x}{\sqrt {x+1}}}=\lim _{y\to 0^{+}}{\frac {{\sqrt {\pi }}-{\sqrt {\pi -y}}}{\sqrt {\cos(\pi -y)+1}}}={\sqrt {\pi }}\lim _{y\to 0^{+}}{\frac {1-{\sqrt {1-y/\pi }}}{\sqrt {1-\cos y}}}={\sqrt {\pi }}\lim _{y\to 0^{+}}{\frac {y/(2\pi )}{\sqrt {y^{2}/2}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$.

 

Exercice 7-2

Calculer (en fonction de $a,b>0$) :

• $\lim _{x\to +\infty }\left(a^{x}+b^{x}\right)^{\frac {1}{x}}$

Solution

Quand $x\to +\infty$, si $b\leq a$,

$\left(a^{x}+b^{x}\right)^{\frac {1}{x}}=a\left(1+\left({\frac {b}{a}}\right)^{x}\right)^{\frac {1}{x}}\to a$

car pour tout $x>0$,

$1<\left(1+\left({\frac {b}{a}}\right)^{x}\right)^{\frac {1}{x}}\leq 2^{\frac {1}{x}}$ (et $2^{\frac {1}{x}}\to 2^{0}=1$).

De même, si $a\leq b$, la limite est $b$.

Dans les deux cas, la limite est donc $\max(a,b)$.

 

• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}+b^{x}}{2}}\right)^{\frac {1}{x}}$

Solution

Si $b=a$, la limite est évidemment $a$.

Supposons maintenant par exemple $b<a$.

$\left({\frac {a^{x}+b^{x}}{2}}\right)^{\frac {1}{x}}=a\left({\frac {1+\left({\frac {b}{a}}\right)^{x}}{2}}\right)^{\frac {1}{x}}$.

Quand $x\to 0$,

$\ln \left({\frac {1+\left({\frac {b}{a}}\right)^{x}}{2}}\right)\sim {\frac {\left({\frac {b}{a}}\right)^{x}-1}{2}}\sim {\frac {x\ln {\frac {b}{a}}}{2}}$

donc

$\left({\frac {a^{x}+b^{x}}{2}}\right)^{\frac {1}{x}}\to a\exp \left({\frac {\ln {\frac {b}{a}}}{2}}\right)=a{\sqrt {\frac {b}{a}}}={\sqrt {ab}}$.

Dans tous les cas, la limite est donc ${\sqrt {ab}}$.

 

Exercice 7-3

Calculer, suivant les valeurs de $\alpha \in \mathbb {R}$ :

• $\lim _{x\to +\infty }(x^{2}+1)^{\alpha }-(x+1)^{2\alpha }$

Solution

$(x^{2}+1)^{\alpha }-(x+1)^{2\alpha }=x^{2\alpha }\left[\left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{\alpha }-\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{2\alpha }\right]=x^{2\alpha }\left[1+o\left({\frac {1}{x}}\right)-\left(1+{\frac {2\alpha }{x}}+o\left({\frac {1}{x}}\right)\right)\right]\,{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\,-2\alpha x^{2\alpha -1}$

donc la limite est :

${\begin{cases}0&{\text{si }}\alpha <{\frac {1}{2}}\\-1&{\text{si }}\alpha ={\frac {1}{2}}\\-\infty &{\text{si }}\alpha >{\frac {1}{2}}.\end{cases}}$

 

• $\lim _{x\to +\infty }{\left(1+{\frac {1}{x^{\alpha }}}\right)^{x}}$

Solution

Si $\alpha \leq 0$, $\lim _{x\to +\infty }{\left(1+{\frac {1}{x^{\alpha }}}\right)^{x}}=+\infty$.

Si $\alpha >0$, $\ln \left(\left(1+{\frac {1}{x^{\alpha }}}\right)^{x}\right)=x\ln \left(1+{\frac {1}{x^{\alpha }}}\right)\,{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\,x^{1-\alpha }$ donc :

• si $0<\alpha <1$, $\lim _{x\to +\infty }{\left(1+{\frac {1}{x^{\alpha }}}\right)^{x}}=\mathrm {e} ^{+\infty }={+\infty }$ ;
• si $\alpha >1$, $\lim _{x\to +\infty }{\left(1+{\frac {1}{x^{\alpha }}}\right)^{x}}=\mathrm {e} ^{0}=1$ ;
• si $\alpha =1$, $\lim _{x\to +\infty }{\left(1+{\frac {1}{x^{\alpha }}}\right)^{x}}=\mathrm {e} ^{1}=\mathrm {e}$.

 

Exercice 7-4

Calculer les trois limites suivantes (voir si nécessaire : Trigonométrie hyperbolique) :

1. $\lim _{x\to 0^{+}}x\operatorname {arcosh} \left(x\sinh(1/x)\right)$ ;
2. $\lim _{x\to +\infty }\left(\sinh {\sqrt {x^{2}+x}}-\sinh {\sqrt {x^{2}-x}}\right)$ ;
3. $\lim _{x\to +\infty }\left(\cosh {\sqrt {x+1}}-\cosh {\sqrt {x}}\right)^{\frac {1}{\sqrt {x}}}$.

Solution

1. ${\frac {\sinh u}{u}}\,{\underset {u\to +\infty }{\sim }}\,{\frac {\mathrm {e} ^{u}}{2u}}\,{\underset {u\to +\infty }{\to }}\,+\infty$ et $\operatorname {arcosh} v\,{\underset {v\to +\infty }{\sim }}\,\ln v$

   donc

   $\operatorname {arcosh} \left(x\sinh(1/x)\right)\,{\underset {x\to 0^{+}}{\sim }}\,\ln \left(x\sinh(1/x)\right)\,{\underset {x\to 0^{+}}{\sim }}\,\ln {\frac {x\mathrm {e} ^{1/x}}{2}}\,{\underset {x\to 0^{+}}{\sim }}\,{\frac {1}{x}}$,

   c'est-à-dire

   $\lim _{x\to 0^{+}}x\operatorname {arcosh} \left(x\sinh(1/x)\right)=1$.

2. ${\sqrt {x^{2}+x}}-{\sqrt {x^{2}-x}}=x\left({\sqrt {1+1/x}}-{\sqrt {1-1/x}}\right)\,{\underset {x\to +\infty }{\to }}\,1$

   donc

   $\mathrm {e} ^{\sqrt {x^{2}+x}}-\mathrm {e} ^{\sqrt {x^{2}-x}}=\mathrm {e} ^{\sqrt {x^{2}-x}}\left(\mathrm {e} ^{{\sqrt {x^{2}+x}}-{\sqrt {x^{2}-x}}}-1\right)\,{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\,\mathrm {e} ^{\sqrt {x^{2}-x}}(\mathrm {e} -1)\,{\underset {x\to +\infty }{\to }}\,+\infty$.

   Par conséquent, $\mathrm {e} ^{-{\sqrt {x^{2}-x}}}-\mathrm {e} ^{-{\sqrt {x^{2}+x}}}\,{\underset {x\to +\infty }{=}}\,o\left(\mathrm {e} ^{\sqrt {x^{2}+x}}-\mathrm {e} ^{\sqrt {x^{2}-x}}\right)$ et

   $\sinh {\sqrt {x^{2}+x}}-\sinh {\sqrt {x^{2}-x}}={\frac {\mathrm {e} ^{\sqrt {x^{2}+x}}-\mathrm {e} ^{\sqrt {x^{2}-x}}+\mathrm {e} ^{-{\sqrt {x^{2}-x}}}-\mathrm {e} ^{-{\sqrt {x^{2}+x}}}}{2}}\,{\underset {x\to +\infty }{\to }}\,+\infty$.

3. ${\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}={\sqrt {x}}\left({\sqrt {1+1/x}}-1\right)\,{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\,{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\,{\underset {x\to +\infty }{\to }}\,0$

   donc

   $\mathrm {e} ^{\sqrt {x+1}}-\mathrm {e} ^{\sqrt {x}}=\mathrm {e} ^{\sqrt {x}}\left(\mathrm {e} ^{{\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}}-1\right)\,{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\,{\frac {\mathrm {e} ^{\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}\,{\underset {x\to +\infty }{\to }}\,+\infty$.

   Par conséquent, $\mathrm {e} ^{-{\sqrt {x}}}-\mathrm {e} ^{-{\sqrt {x+1}}}\,{\underset {x\to +\infty }{=}}\,o\left(\mathrm {e} ^{\sqrt {x+1}}-\mathrm {e} ^{\sqrt {x}}\right)$ et

   $\cosh {\sqrt {x+1}}-\cosh {\sqrt {x}}={\frac {\mathrm {e} ^{\sqrt {x+1}}-\mathrm {e} ^{\sqrt {x}}+\mathrm {e} ^{-{\sqrt {x}}}-\mathrm {e} ^{-{\sqrt {x+1}}}}{2}}\,{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\,{\frac {\mathrm {e} ^{\sqrt {x}}}{4{\sqrt {x}}}}\,{\underset {x\to +\infty }{\to }}\,+\infty$,

   si bien que

   $\ln \left(\cosh {\sqrt {x+1}}-\cosh {\sqrt {x}}\right)\,{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\,\ln \left({\frac {\mathrm {e} ^{\sqrt {x}}}{4{\sqrt {x}}}}\right)={\sqrt {x}}-\ln(4{\sqrt {x}})\,{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\,{\sqrt {x}}$

   et finalement,

   $\lim _{x\to +\infty }\left(\cosh {\sqrt {x+1}}-\cosh {\sqrt {x}}\right)^{\frac {1}{\sqrt {x}}}=\lim _{x\to +\infty }\exp {\frac {\ln \left(\cosh {\sqrt {x+1}}-\cosh {\sqrt {x}}\right)}{\sqrt {x}}}=\exp 1=\mathrm {e}$.

 

Exercice 7-5

Calculer les cinq limites suivantes :

1. $\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {\arcsin x}{\tan {\frac {\pi x}{2}}}}$ ;
2. $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{\frac {x+1}{x}}$ ;
3. $\lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{\frac {1}{\sin x}}$ ;
4. $\lim _{x\to 0}(\cos ax)^{\operatorname {cotan} bx}$ ;
5. $\lim _{x\to 0}\left({\frac {1+x}{1-x}}\right)^{1/\sin x}$.

Solution

1. $\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {\arcsin x}{\tan {\frac {\pi x}{2}}}}={\frac {\pi /2}{+\infty }}=0$.
2. $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{\frac {x+1}{x}}=1^{1}=1$.
3. ${\frac {1}{\sin x}}\ln {\frac {\sin x}{x}}\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,{\frac {1}{x}}\left({\frac {\sin x}{x}}-1\right)\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,-{\frac {x}{6}}$ donc $\lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{\frac {1}{\sin x}}=\mathrm {e} ^{0}=1$.
4. $\operatorname {cotan} bx\ln(\cos ax)\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,{\frac {\cos ax-1}{bx}}\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,{\frac {-a^{2}x}{2b}}$ donc $\lim _{x\to 0}(\cos ax)^{\operatorname {cotan} bx}=\mathrm {e} ^{0}=1$.
5. $\ln(1+x)-\ln(1-x)\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,x-(-x)=2x$ et $\sin x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,x$ donc $\lim _{x\to 0}\left({\frac {1+x}{1-x}}\right)^{1/\sin x}=\mathrm {e} ^{2}$.