En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Rang Application linéaire/Exercices/Rang », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 3-1
Soient et telles que . Montrer que .
Solution
Puisque (faire le calcul) est un projecteur de rang 2, et sont de rang 2 (donc respectivement injectif et surjectif) et , donc .
Exercice 3-2
Soient et tels que . Montrer qu'il existe tel que .
Soient des formes linéaires sur , telles que contient l'intersection des . Déduire de la question précédente que est une combinaison linéaire des .
Solution
Soit un supplémentaire de dans . Notons l'isomorphisme . Soit un supplémentaire de dans . Définissons par ses restrictions à et : nulle sur et pour tout , . Alors, pour tout , avec et , en notant , on a bien : .
D'après la question précédente appliquée à (le corps des scalaires), , et , il existe une forme linéaire sur , qui s'écrit donc , telle que , c'est-à-dire .