Équation du quatrième degré/Nombres algébriques du quatrième degré

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Nombres algébriques et polynômes minimaux sur $\mathbb {Q}$

Voir Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3.

Rappel de quelques définitions

• Un nombre α est dit algébrique s'il est racine d'un polynôme non nul dont tous les coefficients sont des nombres rationnels.
• Le polynôme unitaire à coefficients rationnels de plus bas degré admettant α comme racine est appelé polynôme minimal de α.
• Si le polynôme minimal est de degré n, alors α est dit algébrique de degré n.

Un nombre est donc :

• algébrique de degré $1$ si et seulement s'il est rationnel ;
• algébrique de degré $4$ si et seulement s'il est racine d'un polynôme de degré $4$ à coefficients rationnels tout en n'étant racine d'aucun polynôme de degré $3$ à coefficients rationnels.

Exemples de nombres algébriques de degré $4$

Début de l'exemple

Exemple 1

Le nombre :

${\sqrt[{4}]{5}}$

est algébrique de degré $4$ car il est racine de l'équation du quatrième degré :

$x^{4}-5=0$,

dont les racines et les produits de deux racines sont irrationnels.

Fin de l'exemple

Propriété 1

Les nombres :

$\tan {\frac {k\pi }{5}}$ pour $k\in \{1,2,3,4\}$

sont algébriques de degré $4$ et de même polynôme minimal :

$X^{4}-10X^{2}+5$.

Démonstration

Posons $\theta ={\frac {k\pi }{5}}$ et $t=\tan \theta$. Alors, $t\neq 0$ et

$0=\tan 5\theta ={\frac {5t-10t^{3}+t^{5}}{1-10t^{2}+5t^{4}}}$ (voir cet exercice) donc

$t^{4}-10t^{2}+5=0$.

Les quatre nombres sont donc bien les racines du polynôme proposé, et l'on peut ainsi préciser leurs valeurs :

$\tan {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}=-\tan {\frac {4\pi }{5}},\quad \tan {\frac {2\pi }{5}}={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}=-\tan {\frac {3\pi }{5}}$.

Ce polynôme est irréductible sur $\mathbb {Q}$ car ses racines et produits de deux racines sont irrationnels.

 

La propriété suivante s'en déduit immédiatement :

Propriété 2

Les nombres :

${\frac {\tan {\frac {k\pi }{5}}}{\sqrt {3}}}$ pour $k\in \{1,2,3,4\}$

sont algébriques de degré $4$ et de même polynôme minimal :

$X^{4}-{\frac {10}{3}}X^{2}+{\frac {5}{9}}$.

Propriété 3

Les nombres

$\tan {\frac {\pi }{24}},\qquad \tan {\frac {5\pi }{24}},\qquad \tan {\frac {13\pi }{24}},\qquad \tan {\frac {17\pi }{24}}$

sont algébriques de degré $4$ et de même polynôme minimal :

$X^{4}+8X^{3}+2X^{2}-8X+1$.

Démonstration

Pour $k\in \{1,5,13,17\}$, posons $\theta ={\frac {k\pi }{12}}$, $t=\tan {\frac {\theta }{2}}$ et $s=\tan \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}}$. Alors,

$1=\tan 3\theta ={\frac {3s-s^{3}}{1-3s^{2}}}$ (voir cet exercice) donc

$0=1-3s^{2}-(3s-s^{3})=(s+1)(s^{2}-4s+1)$, or $s\neq -1$, donc

$s^{2}-4s+1=0$, c'est-à-dire

$t^{4}+8t^{3}+2t^{2}-8t+1=0$.

Les quatre nombres sont donc bien les racines du polynôme proposé, et l'on peut même préciser leurs valeurs  : puisque

• $t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+s^{2}}}}{s}}=-{\frac {1}{s}}\pm 2{\sqrt {\frac {1}{s}}}$,
• $s_{1}:=2-{\sqrt {3}}<s_{2}:=2+{\sqrt {3}}={\frac {1}{s_{1}}}$,
• $\tan {\frac {\pi }{12}}=\tan {\frac {13\pi }{12}}<\tan {\frac {5\pi }{12}}=\tan {\frac {17\pi }{12}}$,
• $\tan {\frac {\pi }{24}}>\tan {\frac {13\pi }{24}}\quad {\text{et}}\quad \tan {\frac {5\pi }{24}}>\tan {\frac {17\pi }{24}}$,

on a :

$\tan {\frac {\pi }{24}}=-s_{2}+2{\sqrt {s_{2}}},\quad \tan {\frac {13\pi }{24}}=-s_{2}-2{\sqrt {s_{2}}},\quad \tan {\frac {5\pi }{24}}=-s_{1}+2{\sqrt {s_{1}}},\quad \tan {\frac {17\pi }{24}}=-s_{1}-2{\sqrt {s_{1}}}$

(et $2{\sqrt {s_{1}}}={\sqrt {6}}-{\sqrt {2}},\qquad 2{\sqrt {s_{2}}}={\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$).

Le polynôme $X^{4}+8X^{3}+2X^{2}-8X+1$ est irréductible sur $\mathbb {Q}$ car ses racines et produits de deux racines sont irrationnels.

 

Changement de variable homographique

Voir Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3#Changement de variable homographique.

Début d’un théorème

Rappel d'un théorème

Si $x$ est algébrique de degré $n>1$ alors, pour tous rationnels $a,b,c,d$ tels que $ad-bc\neq 0$,

${\frac {ax+b}{cx+d}}$ est bien défini, et algébrique de degré $n$.

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple 2

Les nombres

$y_{k}:=\tan {\frac {(5+4k)\pi }{20}}$ pour $k\in \{1,2,3,4\}$

(c'est-à-dire $\tan {\frac {9\pi }{20}},\;\tan {\frac {13\pi }{20}},\;\tan {\frac {17\pi }{20}},\;\tan {\frac {\pi }{20}}$)

sont algébriques de degré $4$ et de même polynôme minimal :

$X^{4}-4X^{3}-14X^{2}-4X+1$.

En effet, puisque ${\frac {k\pi }{5}}={\frac {(5+4k)\pi }{20}}-{\frac {\pi }{4}}$ et $\tan \left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\tan \theta -1}{1+\tan \theta }}$, ils sont liés aux quatre nombres $x_{k}$ de la propriété 1 par le changement de variable $x={\frac {y-1}{1+y}}$, or

$(1+Y)^{4}\left[\left({\frac {Y-1}{1+Y}}\right)^{4}-10\left({\frac {Y-1}{1+Y}}\right)^{2}+5\right]=-4(Y^{4}-4Y^{3}-14Y^{2}-4Y+1)$.

On peut même préciser leurs valeurs : par exemple,

$\tan {\frac {\pi }{20}}=y_{4}={\frac {1+x_{4}}{1-x_{4}}}={\frac {1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}=1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple 3

Les nombres

$y_{k}:={\frac {\tan {\frac {(3k-5)\pi }{15}}}{\sqrt {3}}}$ pour $k\in \{1,2,3,4\}$

(c'est-à-dire ${\frac {\tan {\frac {13\pi }{15}}}{\sqrt {3}}},\;{\frac {\tan {\frac {\pi }{15}}}{\sqrt {3}}},\;{\frac {\tan {\frac {4\pi }{15}}}{\sqrt {3}}},\;{\frac {\tan {\frac {7\pi }{15}}}{\sqrt {3}}}$)

sont algébriques de degré $4$ et de même polynôme minimal :

$X^{4}-6X^{3}+{\frac {8}{3}}X^{2}+{\frac {2}{3}}X-{\frac {1}{9}}$.

En effet, puisque ${\frac {k\pi }{5}}={\frac {(3k-5)\pi }{15}}+{\frac {\pi }{3}}$ et ${\frac {\tan \left(\theta +{\frac {\pi }{3}}\right)}{\sqrt {3}}}={\frac {{\frac {\tan \theta }{\sqrt {3}}}+1}{1-3{\frac {\tan \theta }{\sqrt {3}}}}}$, ils sont liés aux quatre nombres $x_{k}$ de la propriété 2 par le changement de variable $x={\frac {y+1}{1-3y}}$, or

$(1-3Y)^{4}\left[\left({\frac {Y+1}{1-3Y}}\right)^{4}-{\frac {10}{3}}\left({\frac {Y+1}{1-3Y}}\right)^{2}+{\frac {5}{9}}\right]=16\left(Y^{4}-6Y^{3}+{\frac {8}{3}}Y^{2}+{\frac {2}{3}}Y-{\frac {1}{9}}\right)$.

On peut même préciser leurs valeurs : par exemple,

$\tan {\frac {\pi }{15}}={\sqrt {3}}y_{2}={\sqrt {3}}{\frac {x_{2}-1}{3x_{2}+1}}={\frac {{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+1}}={\frac {(3-{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}-{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}}{2}}$.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple 4

De même, les nombres :

$y_{k}:={\frac {\tan {\frac {(6k+5)\pi }{30}}}{\sqrt {3}}}$ pour $k\in \{1,2,3,4\}$

sont algébriques de degré $4$ et de même polynôme minimal :

$X^{4}+2X^{3}-{\frac {8}{3}}X^{2}-2X-{\frac {1}{9}}$.

En effet, puisque ${\frac {k\pi }{5}}={\frac {(6k+5)\pi }{30}}-{\frac {\pi }{6}}$ et ${\frac {\tan \left(\theta -{\frac {\pi }{6}}\right)}{\sqrt {3}}}={\frac {{\frac {\tan \theta }{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3}}}{1+{\frac {\tan \theta }{\sqrt {3}}}}}$, ils sont liés, eux aussi, aux quatre nombres $x_{k}$ de la propriété 2, par le changement de variable $x={\frac {y-{\frac {1}{3}}}{1+y}}$, or

$(1+Y)^{4}\left[\left({\frac {Y-{\frac {1}{3}}}{1+Y}}\right)^{4}-{\frac {10}{3}}\left({\frac {Y-{\frac {1}{3}}}{1+Y}}\right)^{2}+{\frac {5}{9}}\right]=-{\frac {16}{9}}\left(Y^{4}+2Y^{3}-{\frac {8}{3}}Y^{2}-2Y-{\frac {1}{9}}\right)$.

On peut même préciser leurs valeurs : par exemple,

$-\tan {\frac {\pi }{30}}=\tan {\frac {29\pi }{30}}={\sqrt {3}}y_{4}={\sqrt {3}}{\frac {{\frac {1}{3}}+x_{4}}{1-x_{4}}}={\frac {1-{\sqrt {3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}}-{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$.

Fin de l'exemple