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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Équation du quatrième degré : Nombres algébriques du quatrième degré Équation du quatrième degré/Nombres algébriques du quatrième degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Voir Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3 .
Rappel de quelques définitions
Un nombre α est dit algébrique s'il est racine d'un polynôme non nul dont tous les coefficients sont des nombres rationnels.
Le polynôme unitaire à coefficients rationnels de plus bas degré admettant α comme racine est appelé polynôme minimal de α.
Si le polynôme minimal est de degré n , alors α est dit algébrique de degré n .
Un nombre est donc :
algébrique de degré
1
{\displaystyle 1}
si et seulement s'il est rationnel ;
algébrique de degré
4
{\displaystyle 4}
si et seulement s'il est racine d'un polynôme de degré
4
{\displaystyle 4}
à coefficients rationnels tout en n'étant racine d'aucun polynôme de degré
3
{\displaystyle 3}
à coefficients rationnels.
Début de l'exemple
Exemple 1
Le nombre :
5
4
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{5}}}
est algébrique de degré
4
{\displaystyle 4}
car il est racine de l'équation du quatrième degré :
x
4
−
5
=
0
{\displaystyle x^{4}-5=0}
,
dont les racines et les produits de deux racines sont irrationnels.
Fin de l'exemple
La propriété suivante s'en déduit immédiatement :
Propriété 3
Les nombres
tan
π
24
,
tan
5
π
24
,
tan
13
π
24
,
tan
17
π
24
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{24}},\qquad \tan {\frac {5\pi }{24}},\qquad \tan {\frac {13\pi }{24}},\qquad \tan {\frac {17\pi }{24}}}
sont algébriques de degré
4
{\displaystyle 4}
et de même polynôme minimal :
X
4
+
8
X
3
+
2
X
2
−
8
X
+
1
{\displaystyle X^{4}+8X^{3}+2X^{2}-8X+1}
.
Démonstration
Pour
k
∈
{
1
,
5
,
13
,
17
}
{\displaystyle k\in \{1,5,13,17\}}
, posons
θ
=
k
π
12
{\displaystyle \theta ={\frac {k\pi }{12}}}
,
t
=
tan
θ
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}}
et
s
=
tan
θ
=
2
t
1
−
t
2
{\displaystyle s=\tan \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}}}
. Alors,
1
=
tan
3
θ
=
3
s
−
s
3
1
−
3
s
2
{\displaystyle 1=\tan 3\theta ={\frac {3s-s^{3}}{1-3s^{2}}}}
(voir cet exercice ) donc
0
=
1
−
3
s
2
−
(
3
s
−
s
3
)
=
(
s
+
1
)
(
s
2
−
4
s
+
1
)
{\displaystyle 0=1-3s^{2}-(3s-s^{3})=(s+1)(s^{2}-4s+1)}
, or
s
≠
−
1
{\displaystyle s\neq -1}
, donc
s
2
−
4
s
+
1
=
0
{\displaystyle s^{2}-4s+1=0}
, c'est-à-dire
t
4
+
8
t
3
+
2
t
2
−
8
t
+
1
=
0
{\displaystyle t^{4}+8t^{3}+2t^{2}-8t+1=0}
.
Les quatre nombres sont donc bien les racines du polynôme proposé, et l'on peut même préciser leurs valeurs : puisque
t
=
−
1
±
1
+
s
2
s
=
−
1
s
±
2
1
s
{\displaystyle t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+s^{2}}}}{s}}=-{\frac {1}{s}}\pm 2{\sqrt {\frac {1}{s}}}}
,
s
1
:=
2
−
3
<
s
2
:=
2
+
3
=
1
s
1
{\displaystyle s_{1}:=2-{\sqrt {3}}<s_{2}:=2+{\sqrt {3}}={\frac {1}{s_{1}}}}
,
tan
π
12
=
tan
13
π
12
<
tan
5
π
12
=
tan
17
π
12
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12}}=\tan {\frac {13\pi }{12}}<\tan {\frac {5\pi }{12}}=\tan {\frac {17\pi }{12}}}
,
tan
π
24
>
tan
13
π
24
et
tan
5
π
24
>
tan
17
π
24
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{24}}>\tan {\frac {13\pi }{24}}\quad {\text{et}}\quad \tan {\frac {5\pi }{24}}>\tan {\frac {17\pi }{24}}}
,
on a :
tan
π
24
=
−
s
2
+
2
s
2
,
tan
13
π
24
=
−
s
2
−
2
s
2
,
tan
5
π
24
=
−
s
1
+
2
s
1
,
tan
17
π
24
=
−
s
1
−
2
s
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{24}}=-s_{2}+2{\sqrt {s_{2}}},\quad \tan {\frac {13\pi }{24}}=-s_{2}-2{\sqrt {s_{2}}},\quad \tan {\frac {5\pi }{24}}=-s_{1}+2{\sqrt {s_{1}}},\quad \tan {\frac {17\pi }{24}}=-s_{1}-2{\sqrt {s_{1}}}}
(et
2
s
1
=
6
−
2
,
2
s
2
=
6
+
2
{\displaystyle 2{\sqrt {s_{1}}}={\sqrt {6}}-{\sqrt {2}},\qquad 2{\sqrt {s_{2}}}={\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}
).
Le polynôme
X
4
+
8
X
3
+
2
X
2
−
8
X
+
1
{\displaystyle X^{4}+8X^{3}+2X^{2}-8X+1}
est irréductible sur
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
car ses racines et produits de deux racines sont irrationnels.
Voir Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3#Changement de variable homographique .
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début de l'exemple
Exemple 2
Les nombres
y
k
:=
tan
(
5
+
4
k
)
π
20
{\displaystyle y_{k}:=\tan {\frac {(5+4k)\pi }{20}}}
pour
k
∈
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}
(c'est-à-dire
tan
9
π
20
,
tan
13
π
20
,
tan
17
π
20
,
tan
π
20
{\displaystyle \tan {\frac {9\pi }{20}},\;\tan {\frac {13\pi }{20}},\;\tan {\frac {17\pi }{20}},\;\tan {\frac {\pi }{20}}}
)
sont algébriques de degré
4
{\displaystyle 4}
et de même polynôme minimal :
X
4
−
4
X
3
−
14
X
2
−
4
X
+
1
{\displaystyle X^{4}-4X^{3}-14X^{2}-4X+1}
.
En effet, puisque
k
π
5
=
(
5
+
4
k
)
π
20
−
π
4
{\displaystyle {\frac {k\pi }{5}}={\frac {(5+4k)\pi }{20}}-{\frac {\pi }{4}}}
et
tan
(
θ
−
π
4
)
=
tan
θ
−
1
1
+
tan
θ
{\displaystyle \tan \left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\tan \theta -1}{1+\tan \theta }}}
, ils sont liés aux quatre nombres
x
k
{\displaystyle x_{k}}
de la propriété 1 par le changement de variable
x
=
y
−
1
1
+
y
{\displaystyle x={\frac {y-1}{1+y}}}
, or
(
1
+
Y
)
4
[
(
Y
−
1
1
+
Y
)
4
−
10
(
Y
−
1
1
+
Y
)
2
+
5
]
=
−
4
(
Y
4
−
4
Y
3
−
14
Y
2
−
4
Y
+
1
)
{\displaystyle (1+Y)^{4}\left[\left({\frac {Y-1}{1+Y}}\right)^{4}-10\left({\frac {Y-1}{1+Y}}\right)^{2}+5\right]=-4(Y^{4}-4Y^{3}-14Y^{2}-4Y+1)}
.
On peut même préciser leurs valeurs : par exemple,
tan
π
20
=
y
4
=
1
+
x
4
1
−
x
4
=
1
−
5
−
2
5
1
+
5
−
2
5
=
1
+
5
−
5
+
2
5
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}}=y_{4}={\frac {1+x_{4}}{1-x_{4}}}={\frac {1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}=1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
.
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple 3
Les nombres
y
k
:=
tan
(
3
k
−
5
)
π
15
3
{\displaystyle y_{k}:={\frac {\tan {\frac {(3k-5)\pi }{15}}}{\sqrt {3}}}}
pour
k
∈
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}
(c'est-à-dire
tan
13
π
15
3
,
tan
π
15
3
,
tan
4
π
15
3
,
tan
7
π
15
3
{\displaystyle {\frac {\tan {\frac {13\pi }{15}}}{\sqrt {3}}},\;{\frac {\tan {\frac {\pi }{15}}}{\sqrt {3}}},\;{\frac {\tan {\frac {4\pi }{15}}}{\sqrt {3}}},\;{\frac {\tan {\frac {7\pi }{15}}}{\sqrt {3}}}}
)
sont algébriques de degré
4
{\displaystyle 4}
et de même polynôme minimal :
X
4
−
6
X
3
+
8
3
X
2
+
2
3
X
−
1
9
{\displaystyle X^{4}-6X^{3}+{\frac {8}{3}}X^{2}+{\frac {2}{3}}X-{\frac {1}{9}}}
.
En effet, puisque
k
π
5
=
(
3
k
−
5
)
π
15
+
π
3
{\displaystyle {\frac {k\pi }{5}}={\frac {(3k-5)\pi }{15}}+{\frac {\pi }{3}}}
et
tan
(
θ
+
π
3
)
3
=
tan
θ
3
+
1
1
−
3
tan
θ
3
{\displaystyle {\frac {\tan \left(\theta +{\frac {\pi }{3}}\right)}{\sqrt {3}}}={\frac {{\frac {\tan \theta }{\sqrt {3}}}+1}{1-3{\frac {\tan \theta }{\sqrt {3}}}}}}
, ils sont liés aux quatre nombres
x
k
{\displaystyle x_{k}}
de la propriété 2 par le changement de variable
x
=
y
+
1
1
−
3
y
{\displaystyle x={\frac {y+1}{1-3y}}}
, or
(
1
−
3
Y
)
4
[
(
Y
+
1
1
−
3
Y
)
4
−
10
3
(
Y
+
1
1
−
3
Y
)
2
+
5
9
]
=
16
(
Y
4
−
6
Y
3
+
8
3
Y
2
+
2
3
Y
−
1
9
)
{\displaystyle (1-3Y)^{4}\left[\left({\frac {Y+1}{1-3Y}}\right)^{4}-{\frac {10}{3}}\left({\frac {Y+1}{1-3Y}}\right)^{2}+{\frac {5}{9}}\right]=16\left(Y^{4}-6Y^{3}+{\frac {8}{3}}Y^{2}+{\frac {2}{3}}Y-{\frac {1}{9}}\right)}
.
On peut même préciser leurs valeurs : par exemple,
tan
π
15
=
3
y
2
=
3
x
2
−
1
3
x
2
+
1
=
5
+
2
5
−
3
3
5
+
2
5
+
1
=
(
3
−
5
)
3
−
50
−
22
5
2
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}={\sqrt {3}}y_{2}={\sqrt {3}}{\frac {x_{2}-1}{3x_{2}+1}}={\frac {{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+1}}={\frac {(3-{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}-{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}}{2}}}
.
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple 4
De même, les nombres :
y
k
:=
tan
(
6
k
+
5
)
π
30
3
{\displaystyle y_{k}:={\frac {\tan {\frac {(6k+5)\pi }{30}}}{\sqrt {3}}}}
pour
k
∈
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}
sont algébriques de degré
4
{\displaystyle 4}
et de même polynôme minimal :
X
4
+
2
X
3
−
8
3
X
2
−
2
X
−
1
9
{\displaystyle X^{4}+2X^{3}-{\frac {8}{3}}X^{2}-2X-{\frac {1}{9}}}
.
En effet, puisque
k
π
5
=
(
6
k
+
5
)
π
30
−
π
6
{\displaystyle {\frac {k\pi }{5}}={\frac {(6k+5)\pi }{30}}-{\frac {\pi }{6}}}
et
tan
(
θ
−
π
6
)
3
=
tan
θ
3
−
1
3
1
+
tan
θ
3
{\displaystyle {\frac {\tan \left(\theta -{\frac {\pi }{6}}\right)}{\sqrt {3}}}={\frac {{\frac {\tan \theta }{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3}}}{1+{\frac {\tan \theta }{\sqrt {3}}}}}}
, ils sont liés, eux aussi, aux quatre nombres
x
k
{\displaystyle x_{k}}
de la propriété 2, par le changement de variable
x
=
y
−
1
3
1
+
y
{\displaystyle x={\frac {y-{\frac {1}{3}}}{1+y}}}
, or
(
1
+
Y
)
4
[
(
Y
−
1
3
1
+
Y
)
4
−
10
3
(
Y
−
1
3
1
+
Y
)
2
+
5
9
]
=
−
16
9
(
Y
4
+
2
Y
3
−
8
3
Y
2
−
2
Y
−
1
9
)
{\displaystyle (1+Y)^{4}\left[\left({\frac {Y-{\frac {1}{3}}}{1+Y}}\right)^{4}-{\frac {10}{3}}\left({\frac {Y-{\frac {1}{3}}}{1+Y}}\right)^{2}+{\frac {5}{9}}\right]=-{\frac {16}{9}}\left(Y^{4}+2Y^{3}-{\frac {8}{3}}Y^{2}-2Y-{\frac {1}{9}}\right)}
.
On peut même préciser leurs valeurs : par exemple,
−
tan
π
30
=
tan
29
π
30
=
3
y
4
=
3
1
3
+
x
4
1
−
x
4
=
1
−
3
5
−
2
5
3
+
5
−
2
5
=
3
(
5
−
1
)
2
−
5
−
5
2
{\displaystyle -\tan {\frac {\pi }{30}}=\tan {\frac {29\pi }{30}}={\sqrt {3}}y_{4}={\sqrt {3}}{\frac {{\frac {1}{3}}+x_{4}}{1-x_{4}}}={\frac {1-{\sqrt {3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}}-{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}}
.
Fin de l'exemple