Matrice/Matrice d'une application linéaire

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Dans ce chapitre, E, F et G désignent des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif K, munis chacun d'une base :

• $B=\left(e_{1},\dots ,e_{n}\right)$ une base de $E$ ;
• $C=\left(f_{1},\dots ,f_{m}\right)$ une base de $F$ ;
• $D$ une base de $G$.

Définition

Début d’un théorème

Théorème

Une application $u:E\to F$ est linéaire si et seulement s'il existe une matrice $A\in \mathrm {M} _{m,n}(K)$ telle que pour tout vecteur $x$ de $E$ :

si $X$ désigne la matrice colonne des coordonnées de $x$ dans la base B et $Y$ celle des coordonnées de $u(x)$ dans la base C, alors

$Y=AX$.

De plus, cette matrice $A$ est alors unique : pour tout $j\in [\![1,n]\!]$, sa $j$-ème colonne est constituée des coordonnées de $u(e_{j})$ dans la base C.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $u:E\to F$ s'écrivant matriciellement comme ci-dessus pour une certaine matrice $A$. Alors, $u$ est clairement linéaire et pour tout $j\in [\![1,n]\!]$, la $j$-ème colonne de $A$ est constituée des coordonnées de $u(e_{j})$ dans la base C.

Réciproquement, soit $u:E\to F$ linéaire et soit $A=\left(a_{i,j}\right)\in \mathrm {M} _{m,n}(K)$ la matrice définie par : pour tout $j\in [\![1,n]\!]$, la $j$-ème colonne de $A$ est constituée des coordonnées de $u(e_{j})$ dans la base C.

Si $X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ désigne la matrice colonne des coordonnées d'un vecteur $x\in E$ dans la base B et $Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}$ celle des coordonnées de $u(x)$ dans la base C, on a :

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{m}y_{i}f_{i}&=u(x)\\&=u\left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}e_{j}\right)\\&=\sum _{j=1}^{n}x_{j}u\left(e_{j}\right)\\&=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}f_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\right)f_{i}.\end{aligned}}$

Ainsi, pour tout $i\in [\![1,m]\!]$, $y_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}=(AX)_{i}$ donc $Y=AX$.

 

Définition

Si $u:E\to F$ est linéaire alors la matrice $A$ ci-dessus est appelée la matrice de $u$ dans les bases B, C et notée $\mathrm {Mat} _{B,C}(u)$.

Si $F=E$ et $C=B$, on l'appelle la matrice de $u$ dans la base B.

On déduit immédiatement du théorème :

Corollaire

L'application $\mathrm {Mat} _{B,C}:\mathrm {L} (E,F)\to \mathrm {M} _{m,n}(K)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Exemples

Début de l'exemple

Exemple 1

Soient :

• $E=K^{4}$, $F=K^{3}$ ;
• B et C les bases canoniques ;
• $u:E\to F,\;{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2x-3y+t\\4y+5z-2t\\-4x+7z\end{pmatrix}}$.

Alors, $u(X)=AX$ pour

$A:={\begin{pmatrix}2&-3&0&1\\0&4&5&-2\\-4&0&7&0\\\end{pmatrix}}$,

donc $u$ est linéaire et $\mathrm {Mat} _{B,C}(u)=A$.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple 2

Soient :

• $E=K[X]$ (de dimension $n+1$) ;
• $B=(X^{i})_{i\in [[0,n]]}$ ;
• $u:E\to E,\;P\mapsto P'$ (dont on sait qu'elle est linéaire).

Pour tout $j\in [\![1,n]\!]$, $u\left(X^{j}\right)=jX^{j-1}$ donc la matrice de $u$ dans la base B est :

${\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &2&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &&&\ddots &n-2&0\\\vdots &&&&\ddots &n-1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\end{pmatrix}}$.

Fin de l'exemple

Matrice de la composée de deux applications linéaires

La matrice de la composée de deux applications linéaires est égale au produit des matrices de ces deux applications linéaires :

Proposition

Soient $u:E\to F$ et $v:F\to G$ deux applications linéaires. Alors,

$\mathrm {Mat} _{B,D}(v\circ u)=\mathrm {Mat} _{C,D}(v)\;\mathrm {Mat} _{B,C}(u)$.

Démonstration

Pour tout $j\in [\![1,n]\!]$, la $j$-ème colonne de $\mathrm {Mat} _{B,D}(v\circ u)$ est constituée des coordonnées dans D de $v(u(e_{j}))$, c'est-à-dire du produit (à gauche) par $\mathrm {Mat} _{C,D}(v)$ de la matrice colonne des coordonnées dans C de $u(e_{j})$. Or cette matrice colonne est la $j$-ème colonne de $\mathrm {Mat} _{B,C}(u)$. Par définition du produit matriciel, $\mathrm {Mat} _{B,D}(v\circ u)$ coïncide donc, colonne par colonne, avec le produit $\mathrm {Mat} _{C,D}(v)\;\mathrm {Mat} _{B,C}(u)$.

 

On en déduit, comme annoncé au chapitre 4 :

Corollaire

Le produit matriciel est associatif.

Démonstration

Soient $P\in \mathrm {M} _{m,n}(K)$, $Q\in \mathrm {M} _{n,p}(K)$ et $R\in \mathrm {M} _{p,q}(K)$. Notons $u:K^{q}\to K^{p}$, $v:K^{p}\to K^{n}$ et $w:K^{n}\to K^{m}$ les applications linéaires de matrices respectives $R$, $Q$ et $P$ dans les bases canoniques. D'après la proposition précédente, la matrice de $w\circ (v\circ u)=(w\circ v)\circ u$ dans les bases canoniques est égale à la fois à $P(QR)$ et à $(PQ)R$.