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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente : Polynômes annulateurs de nombres de la forme 2cos(2kπ╱n)
Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Polynômes annulateurs de nombres de la forme 2cos(2kπ╱n) », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Ci-dessous se trouvent, dans l’ordre croissant des degrés sur
des nombres, les polynômes minimaux sur
(ou sur
lorsque rien n'est précisé) de quelques entiers algébriques de la forme
pour
et k premier avec n.
Lorsque n est pair, la fraction
sera écrite simplifiée par 2.
Rappelons (cf. chap. 1) que le degré (sur
) de
, avec
et
premiers entre eux et
, vaut
(
). Lorsque
est divisible par 4, le polynôme minimal sur
se factorisera en produit de deux polynômes de degré
sur un
, d'autant de façons qu'il y a de sous-groupes d'indice 2 dans le groupe quotient
(donc une seule si et seulement si ce groupe est cyclique, donc plusieurs si n est divisible par 8). De plus, l'entier
(positif et sans facteur carré) — et même
, si
— divise
car le discriminant de
divise celui de l'extension cyclotomique ℚ(ζn).
Nous éviterons les redondances en remarquant que si
est le polynôme minimal sur K de
,
alors
est le polynôme minimal sur K de son opposé,
.
Le cas
avec
impair se ramène ainsi au cas
.
Exemple : n = 40
Le polynôme minimal (sur
) des nombres
pour
et de leurs opposés est
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{40}(X)&=P_{20}(X^{2}-2)\\&=P_{10}((X^{2}-2)^{2}-2)\\&=P_{5}(2-(X^{2}-2)^{2})\\&=P_{5}(-X^{4}+4X^{2}-2)\\&=(-X^{4}+4X^{2}-2)^{2}+(-X^{4}+4X^{2}-2)-1\\&=X^{8}-8X^{6}+19X^{4}-12X^{2}+1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287de09161d991fbe5a7c3ce1a7fc696a36e7490)
En posant
, l'équation
devient
.
On trouve ainsi :
,
soit
![{\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{20}}={\frac {1+{\sqrt {5}}+a-b}{2{\sqrt {2}}}},\quad 2\cos {\frac {3\pi }{20}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}+a+b}{2{\sqrt {2}}}},\quad 2\cos {\frac {7\pi }{20}}={\frac {1-{\sqrt {5}}+a+b}{2{\sqrt {2}}}},\quad 2\cos {\frac {9\pi }{20}}={\frac {1+{\sqrt {5}}-a+b}{2{\sqrt {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1f5130cf795a6d8b5a21e2f98354fbbe4a40f4)
avec
.
Le groupe
, d'ordre
, a trois sous groupes d'indice 2.
Le premier,
, est l'ensemble des nombres (pris modulo 40 et au signe près) puissances de ±7 (ou, ce qui revient au même : de son inverse ±17 dans
), ce que nous noterons
.
Avec les mêmes notations, les deux autres sont :
(cyclique comme le précédent)
(de Klein).
Ils fournissent trois factorisations,
,
avec
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(X)&=\left(X-2\cos {\frac {\pi }{20}}\right)\left(X-2\cos {\frac {7\pi }{20}}\right)\left(X-2\cos {\frac {9\pi }{20}}\right)\left(X-2\cos {\frac {17\pi }{20}}\right)\\&=\left(X-{\frac {1+{\sqrt {5}}+a-b}{2{\sqrt {2}}}}\right)\left(X-{\frac {1-{\sqrt {5}}+a+b}{2{\sqrt {2}}}}\right)\left(X-{\frac {1+{\sqrt {5}}-a+b}{2{\sqrt {2}}}}\right)\left(X+{\frac {-1+{\sqrt {5}}+a+b}{2{\sqrt {2}}}}\right)\\&=X^{4}-X^{3}{\sqrt {2}}-3X^{2}+3X{\sqrt {2}}-1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7aa2c4c9b2927192a21b00d8c8dce0827177741)
et (par des calculs analogues) :
.
Nombres rationnels
pour
.
Les polynômes minimaux des nombres
![{\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{3}},\quad 2\cos {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6100d9f51d0750a808ff78885a94a88d005aa31)
sont respectivement :
.
Irrationnels quadratiques
pour
.
![{\displaystyle X^{2}+X-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2f45d4ee2566bdfd34f01ab93cc618e68ed558) est le polynôme minimal des nombres :
et .
|
![{\displaystyle X^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3349f513c138742b6cff4934f31f28fdccee27d2) est le polynôme minimal des nombres :
et son opposé.
|
![{\displaystyle X^{2}-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4828329b80ab6464ed32e1291133a178f745d810) est le polynôme minimal des nombres :
et son opposé.
|
Nombres de degré 3
pour
.
![{\displaystyle X^{3}+X^{2}-2X-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2083939f7d1c620fb99306904a6906f8692bc1ca) est le polynôme minimal des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{3}-3X+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5089a4e4ce2833bbcafe721c081febea1d736fc7) est le polynôme minimal des nombres :
.
|
Nombres de degré 4
pour
.
![{\displaystyle X^{2}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}X-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec67db5ae05a996d1300e390b29eb8edc7d37233) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}X-{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9007dbec5731e39a9b6edf6994cc75c05926ff) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{2}-2-{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a023a79dc9f41e265e881919b527f62c139a7e42) est le polynôme minimal sur des nombres :
et son opposé.
|
![{\displaystyle X^{2}-2+{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab063d1face8a90934c66015ece1ae175514db9a) est le polynôme minimal sur des nombres :
et son opposé.
|
![{\displaystyle X^{2}-{\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199b22c25d5647b04dab0e9ca7bec58e4fd0dee5) est le polynôme minimal sur des nombres :
et son opposé.
|
![{\displaystyle X^{2}-{\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ec58992f3f18afb9a86f82f1a40aa7650d2121) est le polynôme minimal sur des nombres :
et son opposé.
|
![{\displaystyle X^{2}-{\sqrt {2}}X-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e876a8565943bced4ddd2ede1c9aefc3703be632) est le polynôme minimal sur des nombres :
et .
|
![{\displaystyle X^{2}-2-{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d13f63779d3940a274b8d178a143d198de5d8c) est le polynôme minimal sur des nombres :
et son opposé.
|
![{\displaystyle X^{2}-{\sqrt {6}}X+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0a47b8de92e6b42f7985d994b9712fe2c48020) est le polynôme minimal sur des nombres :
et .
|
Nombres de degré 5
pour
.
![{\displaystyle X^{5}+X^{4}-4X^{3}-3X^{2}+3X+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ec3abbdb905c18faa8003367b7fb2245a75ef8) est le polynôme minimal des nombres :
.
|
Nombres de degré 6
pour
.
![{\displaystyle X^{3}+{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}X^{2}-X-{\frac {3-{\sqrt {13}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebb2f96d73af4d4a5fe3949002e7f88ae7e1204) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{3}+{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}X^{2}-X-{\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7466db6e128c0b970491b5044f7ca31a0fc1fe2c) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{3}-{\frac {1+{\sqrt {21}}}{2}}X^{2}-{\frac {1-{\sqrt {21}}}{2}}X-{\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4e4357ff6215009c74e4cd8fe261fa75789268) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{3}-{\frac {1-{\sqrt {21}}}{2}}X^{2}-{\frac {1+{\sqrt {21}}}{2}}X-{\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29349581d899422343a806e14cc41b2308aaf70) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{3}-X^{2}{\sqrt {7}}+{\sqrt {7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a615cc9debce649f3834adc8a9aeb762b382ea) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{3}-3X-{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b90815114eecd4de048633b865fa79462292f8d) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
Nombres de degré 8
pour
.
![{\displaystyle X^{4}+{\frac {1-{\sqrt {17}}}{2}}X^{3}-{\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}X^{2}+(2+{\sqrt {17}})X-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7956f3b79ad0365a5632ae83ca79c92505ff6755) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{4}+{\frac {1+{\sqrt {17}}}{2}}X^{3}-{\frac {3-{\sqrt {17}}}{2}}X^{2}+(2-{\sqrt {17}})X-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2281b5cd5463b20bee611a340a8752abf43ef5) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{4}-4X^{2}+2-{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5199ecdd1cef379342c974f2dd5ecd09aef5a53) est le polynôme minimal sur des nombres :
et leurs opposés.
|
![{\displaystyle X^{4}-4X^{2}+2+{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75698ebd52a529e5788ae1801b4b539e64ae75de) est le polynôme minimal sur des nombres :
et leurs opposés.
|
![{\displaystyle X^{4}-X^{3}{\sqrt {2}}-3X^{2}+3X{\sqrt {2}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc93750f05b6382d56c2a18e9bf452bfc1479001) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{4}-{\sqrt {10}}X^{3}+X^{2}+{\sqrt {10}}X-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0426e5a9f4d8e241952bbac2b1b2a06f232d25) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{4}-4X^{2}+{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea735ce9612d32afa909788addecbeab188931c) est le polynôme minimal sur des nombres :
et leurs opposés.
|
![{\displaystyle X^{4}-4X^{2}+{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8537d1b9c666a26db1a95fc6c1e6a4b18890b9e) est le polynôme minimal sur des nombres :
et leurs opposés.
|
![{\displaystyle X^{4}-4X^{2}+2-{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e080cbbe2b80295a2b2dada4d087ed18e2557db) est le polynôme minimal sur des nombres :
et leurs opposés.
|
![{\displaystyle X^{4}-4X^{2}+2+{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04798d2041fc4a70920c6e4f7b2a05bd820ab159) est le polynôme minimal sur des nombres :
et leurs opposés.
|
![{\displaystyle X^{4}-X^{3}{\sqrt {15}}+4X^{2}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5626a1e852317cc959a2f8c382126f1caab776) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
Nombres de degré 10
pour
.
![{\displaystyle X^{5}-5X^{3}+5X-{\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bacd08902896fb804548bca9b933bfec9db187) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{5}-5X^{3}+5X+{\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154fc58e6ee3f3001bc9cdd615d1a9b8184073aa) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{10}-X^{9}-10X^{8}+10X^{7}+34X^{6}-34X^{5}-43X^{4}+43X^{3}+12X^{2}-12X+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31b4851f77fd7a7753d126381c05e74dbb201cd) est le polynôme minimal des nombres :
(à factoriser sur )
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![{\displaystyle X^{5}-X^{4}{\sqrt {11}}+3X^{2}{\sqrt {11}}-11X+{\sqrt {11}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96752978e237bbe04b86c1240dabfbae9103387) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
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