P est de la forme :
![{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6a382654ad8c94dc3bfea84bf4a869ab5c68cb)
avec
.
Sa résolvante de Sotta est
![{\displaystyle R(X)=AX^{2}+BX+C=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)=4(3X^{2}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0faa1b5b58fe933f1ecd6646b6932e7ba984ac04)
donc son discriminant est
.
La condition de l'exemple 2 :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p^{3}\left[2Ab-3Ba+3a\epsilon {\sqrt {\delta }}\right]+p^{2}q\left[4Ac-Bb-6Ca+3b\epsilon {\sqrt {\delta }}\right]\\&\quad +pq^{2}\left[6Ad+Bc-4Cb+3c\epsilon {\sqrt {\delta }}\right]+q^{3}\left[3Bd-2Cc+3d\epsilon {\sqrt {\delta }}\right]=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dfbcaa41c05051eb16b1eb2e68de3652294eb7)
s'écrit ici :
.
Seule l'équation obtenue pour ε = –1 a des racines rationnelles :
;
,
ou
;
.
Si
alors
.
L'homographie
étant décroissante sur
, on en déduit qu'elle envoie
sur
.
On pourrait calculer directement les deux autres homographies mais pour identifier les images des trois racines, il est plus commode de composer
par les deux permutations circulaires de l'exemple 4 :
L'homographie
(correspondant à
) envoie
sur
.
L'homographie
(correspondant à
) envoie
sur
.
Deux remarques
Les égalités fournies par
:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{-4\cos {\frac {2\pi }{9}}+1}}=-{\frac {\tan {\frac {2\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}\\{\frac {1}{-4\cos {\frac {4\pi }{9}}+1}}={\frac {\tan {\frac {4\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}\\{\frac {1}{4\cos {\frac {\pi }{9}}+1}}={\frac {\tan {\frac {\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd26aadfa85bd8965900f7f94e5becb0f708c97b)
sont équivalentes aux trois suivantes :
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\sin {\frac {2\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}={\frac {-\cos {\frac {2\pi }{9}}}{-4\cos {\frac {2\pi }{9}}+1}}\\-{\frac {\sin {\frac {4\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}={\frac {-\cos {\frac {4\pi }{9}}}{-4\cos {\frac {4\pi }{9}}+1}}\\{\frac {\sin {\frac {\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}={\frac {\cos {\frac {\pi }{9}}}{4\cos {\frac {\pi }{9}}+1}},\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff14c6db7cc466eaf2c83afbeca27f567a6dda1d)
qui s'obtiennent bien plus directement en développant, pour
.
Les égalités fournies par
:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {-2\cos {\frac {2\pi }{9}}+1}{-2\cos {\frac {2\pi }{9}}-1}}={\frac {\tan {\frac {\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}\\{\frac {-2\cos {\frac {4\pi }{9}}+1}{-2\cos {\frac {4\pi }{9}}-1}}=-{\frac {\tan {\frac {2\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}\\{\frac {2\cos {\frac {\pi }{9}}+1}{2\cos {\frac {\pi }{9}}-1}}={\frac {\tan {\frac {4\pi }{9}}}{\sqrt {3}}},\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68c71fbbbbb8b684f92916a86f8ff88c846cba3)
s'obtiennent elles aussi bien plus élémentairement en appliquant à
l'identité
.
Enfin, d'après la première des deux remarques ci-dessus, les trois nombres
,
et ![{\displaystyle {\frac {\sin {\frac {2\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ce643a8ca5f7f7333ba9ca17341e6d41a9634a)
sont algébriques de degré 3, de même polynôme minimal :
.
Mais là encore, il existe une preuve bien plus directe (cf. exercice 8-4 de la leçon sur les équations de degré 3).