Suites et récurrence/Exercices/Limites

Cas assez simples

Trouver les limites des suites suivantes :

1. $a_{n}={\frac {n-\left(-1\right)^{n}}{n+\left(-1\right)^{n}}}$ avec $n\geq 2$

2. $b_{n}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}$

3. $c_{n}={\sqrt[{n}]{n}}$

4. $d_{n}={\sqrt[{n^{2}}]{n!}}$

5. $e_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}$

6. $f_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}$, pour $a\geq 0$

7. $g_{n}={\frac {n^{n}n!}{(2n)!}}$

Solution

1. $a_{n}={\frac {n\,\left(1-{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}\right)}{n\,\left(1+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}\right)}}={\frac {1-{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}}{1+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}}}\to 1$.
2. $b_{n}={\frac {1}{n^{3}}}\,{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\to {\frac {1}{3}}$.
3. $c_{n}=\operatorname {e} ^{\ln n/n}\to 1$.
4. $d_{n}\geq 1$ et $d_{n}\leq {\sqrt[{n^{2}}]{n^{n}}}=c_{n}$ donc par encadrement, $d_{n}\to 1$.
5. $e_{n}\leq {\frac {1}{n}}\to 0$. Voir aussi Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 2, question 2.
6. Fixons un entier $N$ tel que ${\frac {a}{N+1}}<1$ (par exemple : $N=\lfloor a\rfloor$). Pour tout $n\geq N$, $0\leq f_{n}=f_{N}\times {\frac {a}{N+1}}{\frac {a}{N+2}}\dots {\frac {a}{n}}\leq f_{N}\times \left({\frac {a}{N+1}}\right)^{n-N}$ donc par encadrement, $f_{n}\to 0$.
   Un autre méthode est de minorer $n!=(1.n)(2(n-1))(3(n-2))\dots$ par $n^{n/2}$ donc de majorer $f_{n}$ par $\left({\frac {a}{\sqrt {n}}}\right)^{n}$, qui tend vers $(0^{+})^{+\infty }=0^{+}$.
   Voir aussi Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 2, question 1.
7. Les $n$ termes du produit $g_{n}={\frac {n}{2n}}{\frac {n}{2n-1}}{\frac {n}{2n-2}}\dots {\frac {n}{n+1}}$ sont tous $<1$ et les ${\frac {n}{2}}$ premiers (ou ${\frac {n+1}{2}}$ si $n$ est impair) sont même $<{\frac {2}{3}}$, donc $g_{n}<\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {n}{2}}\to 0$.
   Une autre méthode est de minorer le produit des dénominateurs par $\left(2n^{2}\right)^{n/2}$ donc de majorer $g_{n}$ par $2^{-n/2}$, qui tend vers 0.
   Voir aussi Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 2, question 4.