Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Produit matricielMatrice/Exercices/Produit matriciel », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Produit matriciel : possible ou pas ?
On considère les quatre matrices :
A
=
(
0
1
3
0
8
5
0
6
0
0
1
1
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&3&0\\8&5&0&6\\0&0&1&1\end{pmatrix}}}
B
=
(
0
1
0
0
3
3
9
5
)
{\displaystyle B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\3&3\\9&5\end{pmatrix}}}
C
=
(
0
1
3
8
5
0
0
0
1
)
{\displaystyle C={\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
D
=
(
1
3
5
0
)
{\displaystyle D={\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}}
.
1. Quels sont les produits matriciels réalisables ?
2. Effectuez-les.
Solution
A
B
=
(
0
1
3
0
8
5
0
6
0
0
1
1
)
(
0
1
0
0
3
3
9
5
)
=
(
0
×
0
+
1
×
0
+
3
×
3
+
0
×
9
0
×
1
+
1
×
0
+
3
×
3
+
0
×
5
8
×
0
+
5
×
0
+
0
×
3
+
6
×
9
8
×
1
+
5
×
0
+
0
×
3
+
6
×
5
0
×
0
+
0
×
0
+
1
×
3
+
1
×
9
0
×
1
+
0
×
0
+
1
×
3
+
1
×
5
)
=
(
9
9
54
38
12
8
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}AB&={\begin{pmatrix}0&1&3&0\\8&5&0&6\\0&0&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\3&3\\9&5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 0+1\times 0+3\times 3+0\times 9&0\times 1+1\times 0+3\times 3+0\times 5\\8\times 0+5\times 0+0\times 3+6\times 9&8\times 1+5\times 0+0\times 3+6\times 5\\0\times 0+0\times 0+1\times 3+1\times 9&0\times 1+0\times 0+1\times 3+1\times 5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}9&9\\54&38\\12&8\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
B
D
=
(
0
1
0
0
3
3
9
5
)
(
1
3
5
0
)
=
(
0
×
1
+
1
×
5
0
×
3
+
1
×
0
0
×
1
+
0
×
5
0
×
3
+
0
×
0
3
×
1
+
3
×
5
3
×
3
+
3
×
0
9
×
1
+
5
×
5
9
×
3
+
5
×
0
)
=
(
5
0
0
0
18
9
34
27
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}BD&={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\3&3\\9&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 1+1\times 5&0\times 3+1\times 0\\0\times 1+0\times 5&0\times 3+0\times 0\\3\times 1+3\times 5&3\times 3+3\times 0\\9\times 1+5\times 5&9\times 3+5\times 0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5&0\\0&0\\18&9\\34&27\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
C
A
=
(
0
1
3
8
5
0
0
0
1
)
(
0
1
3
0
8
5
0
6
0
0
1
1
)
=
(
0
×
0
+
8
×
1
+
0
×
3
0
×
1
+
1
×
5
+
3
×
0
0
×
3
+
1
×
0
+
3
×
1
0
×
0
+
1
×
6
+
3
×
1
8
×
0
+
5
×
8
+
0
×
0
8
×
1
+
5
×
5
+
0
×
0
8
×
3
+
5
×
0
+
0
×
1
8
×
0
+
5
×
6
+
0
×
1
0
×
0
+
0
×
8
+
1
×
0
0
×
1
+
0
×
5
+
1
×
0
0
×
3
+
0
×
0
+
1
×
1
0
×
0
+
0
×
6
+
1
×
1
)
=
(
8
5
3
9
40
33
24
30
0
0
1
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}CA&={\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&3&0\\8&5&0&6\\0&0&1&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 0+8\times 1+0\times 3&0\times 1+1\times 5+3\times 0&0\times 3+1\times 0+3\times 1&0\times 0+1\times 6+3\times 1\\8\times 0+5\times 8+0\times 0&8\times 1+5\times 5+0\times 0&8\times 3+5\times 0+0\times 1&8\times 0+5\times 6+0\times 1\\0\times 0+0\times 8+1\times 0&0\times 1+0\times 5+1\times 0&0\times 3+0\times 0+1\times 1&0\times 0+0\times 6+1\times 1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8&5&3&9\\40&33&24&30\\0&0&1&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
C
C
=
(
0
1
3
8
5
0
0
0
1
)
(
0
1
3
8
5
0
0
0
1
)
=
(
0
×
0
+
1
×
8
+
3
×
0
0
×
1
+
1
×
5
+
3
×
0
0
×
3
+
1
×
0
+
3
×
1
8
×
0
+
5
×
8
+
0
×
0
8
×
1
+
5
×
5
+
0
×
0
8
×
3
+
5
×
0
+
0
×
1
0
×
0
+
0
×
8
+
1
×
0
0
×
1
+
0
×
5
+
1
×
0
0
×
3
+
0
×
0
+
1
×
1
)
=
(
8
5
3
40
33
24
0
0
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}CC&={\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 0+1\times 8+3\times 0&0\times 1+1\times 5+3\times 0&0\times 3+1\times 0+3\times 1\\8\times 0+5\times 8+0\times 0&8\times 1+5\times 5+0\times 0&8\times 3+5\times 0+0\times 1\\0\times 0+0\times 8+1\times 0&0\times 1+0\times 5+1\times 0&0\times 3+0\times 0+1\times 1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8&5&3\\40&33&24\\0&0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
D
D
=
(
1
3
5
0
)
(
1
3
5
0
)
=
(
1
×
1
+
3
×
5
1
×
3
+
3
×
0
5
×
1
+
0
×
5
5
×
3
+
0
×
0
)
=
(
16
3
5
15
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}DD&={\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1\times 1+3\times 5&1\times 3+3\times 0\\5\times 1+0\times 5&5\times 3+0\times 0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}16&3\\5&15\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Matrice strictement triangulaire
Soit
A
∈
M
n
(
K
)
{\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}(K)}
une matrice strictement triangulaire supérieure, c'est-à-dire qui n'a que des zéros en dessous de la diagonale et sur la diagonale elle-même . Démontrer que
A
n
=
0
{\displaystyle A^{n}=0}
.
Solution
Soit
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}
la base canonique de
K
n
{\displaystyle K^{n}}
et
E
k
=
Vect
(
e
1
,
…
,
e
k
)
{\displaystyle E_{k}=\operatorname {Vect} \left(e_{1},\dots ,e_{k}\right)}
, pour
k
{\displaystyle k}
de
0
{\displaystyle 0}
à
n
{\displaystyle n}
.
Pour tout
i
{\displaystyle i}
de
1
{\displaystyle 1}
à
n
{\displaystyle n}
,
A
(
e
i
)
∈
E
i
−
1
{\displaystyle A(e_{i})\in E_{i-1}}
donc pour tout
k
{\displaystyle k}
de
1
{\displaystyle 1}
à
n
{\displaystyle n}
,
A
(
E
k
)
⊂
E
k
−
1
{\displaystyle A(E_{k})\subset E_{k-1}}
et a fortiori ,
A
k
(
E
k
)
=
A
k
−
1
(
A
(
E
k
)
)
⊂
A
k
−
1
(
E
k
−
1
)
{\displaystyle A^{k}(E_{k})=A^{k-1}(A(E_{k}))\subset A^{k-1}(E_{k-1})}
. Par conséquent :
A
n
(
K
n
)
=
A
n
(
E
n
)
⊂
A
n
−
1
(
E
n
−
1
)
⊂
⋯
⊂
A
(
E
1
)
⊂
E
0
=
Vect
(
∅
)
=
{
0
}
{\displaystyle A^{n}(K^{n})=A^{n}(E_{n})\subset A^{n-1}(E_{n-1})\subset \dots \subset A(E_{1})\subset E_{0}=\operatorname {Vect} (\varnothing )=\{0\}}
.
Lien externe
« Calculateur en ligne de produits de matrices » , sur calculis.net